Тема 8. Статистические методы моделирования связи социально-экономических явлений и процессов

Для изучения, измерения и количественного выражения взаимосвязей между явлениями применяются различные методы. Важнейшие из них:

• метод сопоставления параллельных рядов,

• балансовый,

• графический,

• метод аналитических группировок,

• дисперсионный анализ;

• Корреляционно-регрессионный анализ (КРА).  

При стохастической (статистической, корреляционной) связи каждому значению независимой переменной Х соответствует множество значений зависимой переменной Y, при чем неизвестно заранее, какое именно. Статистические закономерности проявляются только для большого числа единиц совокупности.

КРА решает две основные задачи:

• определение формы связи (регрессионный анализ);

• измерение тесноты связи (корреляционный анализ)..

Задача регрессионного анализа — выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных.

Связь признаков проявляется в их согласованной вариации, при этом одни признаки выступают как факторные, а другие — как результативные. Причинно-следственная связь факторных и результативных признаков характеризуется по степени:

·      тесноты;

·      направлению;

·      аналитическому выражению.

Для оценки параметров уравнений регрессии наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК).

При изучении связей показателей применяются различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. При криволинейной зависимости применяется ряд математических функций:

• полулогарифмическая

• показательная

• степенная

• параболическая

• гиперболическая

Значимость коэффициентов регрессии применительно к совокупности n<30 определяется с помощью t-критерия Стьюдента

На практике часто приходится исследовать зависимость результативного признака от нескольких факторных признаков. Аналитическая форма связи результативного признака от ряда факторных признаков выражается и называется многофакторным (множественным) уравнением регрессии.

Задача корреляционного анализа — измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Различают:

• парную корреляцию — это зависимость между результативным и факторным признаком;

• частную корреляцию — это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;

• множественную — многофакторное влияние в статической модели .

Для оценки тесноты связи между признаками используют коэффициент корреляции, корреляционное отношение, коэффициента детерминации, коэффициент эластичности и др.

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции, который может рассчитываться по формуле:

Значение коэффициента корреляции лежит в диапазоне от -1 до +1. Если r>0, связь между признаками прямая, если r<0, то обратная. Чем ближе значение приближается к единице, тем теснее связь, а если равно 1 – то связь функциональная .

Универсальным показателем тесноты связи является теоретическое корреляционное отношение, которое рассчитывается по уравнению регрессии. Показывает долю вариации, которую можно объяснить факторами, включенными в уравнение регрессии. Формула расчета:

где Д_общ — общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х;

 — Д_теор - факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние фактора х на вариацию у.

Корреляционное отношение может быть только положительным числом, т.е. в пределах от 0 до +1.

Таблица 2

Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения

(шкала Чеддока)

Значение	Характер связи	Значение	Характер связи
η = 0	Отсутствует	0,5 ≤ η < 0,7	Заметная
0 < η < 0,2	Очень слабая	0,7 ≤ η < 0,9	Сильная
0,2 ≤ η < 0,3	Слабая	0,9 ≤ η < 1	Весьма сильная
0,3 ≤ η < 0,5	Умеренная	η = 1	Функциональная

Если = | | (по величине), то связь между признаками прямолинейная.

При криволинейной зависимости тесноту связи оценивают по корреляционному отношению!

Множественный коэффициент корреляции в случае зависимости результативного признака от двух факторов вычисляется по формуле:

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи результативного признака и фактора, при элиминировании его взаимосвязи с остальными факторами, включенными в анализ.

К оэффициент детерминации (Д)- это квадрат коэффициента корреляции (корреляционного отношения). Он характеризует долю влияния факторного признака:

Д=

Коэффициент эластичности (Э) показывает изменение результативного признака в процентах на 1% изменения факторного признака:

Пример  

По данным о доходах на одного члена семьи (Х) и расходах на промышленные товары (Y) рассчитать параметры уравнения регрессии и тесноту связи.

Таблица 4

Доходы и расходы за месяц, ден.ед.

№	X	Y	Y2	X2	XY	Yтеор.
1	100	12	144	10000	1200	11
2	120	13	169	14400	1560	20
3	110	18	324	12100	1980	15
4	115	19	361	13225	2185	17
5	125	20	400	15625	2500	22
6	130	20	400	16900	2600	24
7	125	25	625	15625	3125	22
8	140	30	900	19600	4200	29
9	140	31	961	19600	4340	29
10	150	35	1225	22500	5250	34
Итого	1255	223	5509	159575	28940	223
среднее	125,5	22,3	550,9	15957,5	2894	22,3

Уравнение регрессии примет вид: Y= -35.4+0,46 X

Следовательно, с увеличением дохода семьи на 1 д.ед. расходы на промышленные товары увеличиваются в среднем на 0,46 д.ед.

Р ассчитаем коэффициент корреляции по формуле:

где

Следовательно, связь между признаками прямая и тесная.

К оэффициент детерминации: Д=r_yx²=0.9²=0.81 т.е. вариация расходов на 81 % объясняется вариацией доходов, а на 19% - влиянием неучтенных факторов.

Коэффициент эластичности т.е., с увеличением доходов на 1%- расходы увеличиваются на 2,6%.

Определим значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента:

По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы ν =n-1=10-1=9 ( при парной корреляции) получаем =2,262. Фактические значения и  превышают табличное критическое значение . Это позволяет признать вычисленные коэффициенты корреляции значимыми.

Оценка значимости линейного парного уравнения регрессии оценивается с помощью критерия Фишера:

По таблице Фишера находят F_табл для числа степеней свободы: ע ₁=1, ע₂=n-2 (при парной корреляции). Если F_набл>F_табл, то уравнение регрессии значимо.

По таблице Фишера-Снедекора (F-распределение) F_табл=5.32, следовательно построенное уравнение регрессии надежно для аналитических и прогнозных целей.