- •Часть 2. Теория линейных непрерывных систем управления
- •3. Линейные модели и характеристики систем управления
- •3.1. Модели вход-выход
- •3.1.1. Дифференциальные уравнения
- •3.1.2. Передаточные функции
- •3.1.3. Временные характеристики
- •3.1.4. Частотные характеристики
- •3.1.5. Логарифмические частотные характеристики
- •3.2. Модели вход-состояние-выход
- •3.3. Взаимосвязь форм представления моделей
- •3.4. Построение моделей вход-выход по уравнениям в форме пространства состояний
- •3.4.1. Вычисление передаточной функции
- •3.4.2. Построение модели в форме пространства состояний по дифференциальному уравнению n-го порядка
- •3.5. Построение временных характеристик
- •3.5.1. Построение временных характеристик по дифференциальным уравнениям
- •3.5.2. Построение временных характеристик по модели вход-состояние-выход
- •3.6. Построение частотных характеристик
- •3.7. Полнота характеристик
- •3.8. Характеристики типовых звеньев
3.2. Модели вход-состояние-выход
Конечномерные стационарные линейные динамические модели при определенных условиях можно записать в форме системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных
. (3.7)
Уравнения (3.7) дополняются уравнениями выходов:
.
В этих уравнениях: ― так называемые переменные состояния; ― переменные входа и ― переменные выхода.
Модели в терминах вход-состояние-выход используют понятие состояния. Состояние динамического объекта (с памятью) — необходимая и достаточная информация для определения будущего поведения по дифференциальным уравнениям при заданных входных воздействиях независимо от того, каким путем система пришла в это состояние. Для конечномерных систем состояние представляется как n-мерный вектор v(t); при t = 0 v(0) — начальное состояние.
Модели вход-состояние-выход естественным образом обобщаются на многомерные системы, когда вход и выход являются векторами. Система дифференциальных уравнений в стандартной форме пространства состояний записывается следующим образом:
|
(3.7) |
где f — P-мерный вектор входа; y — K-мерный вектор выхода; A — матрица состояний; B — матрица входа; C - матрица выхода; D — матрица обхода соответствующих размеров. Первую векторно-матричную строку в системе уравнений (3.7) называют уравнениями состояний, а вторую — уравнениями выхода.
Для примера при n = 2 дифференциальные уравнения (3.7) системы с одним входом и одним выходом в раскрытой форме запишутся так:
Матрицы будут иметь следующий вид:
Автономная система описывается дифференциальными уравнениями в форме пространства состояний
3.3. Взаимосвязь форм представления моделей
Хотя любая из форм представления моделей может быть принята за основу задания динамических свойств систем, для конкретных исследований та или иная форма оказывается более рациональной. Возникает необходимость перехода от одной формы к другой. В ряде случаев эта процедура составляет наиболее трудоемкий этап анализа — приведение модели к форме, позволяющей непосредственно вычислить показатели качества и вывести суждение о соответствии поведения системы заданным требованиям.
Переходы между различными формами представления операторов удобно рассматривать как дуги ориентированного графа, вершинам которого соответствуют формы представления, как это изображено на рис. 3.8.
Рис. 3.8. Орграф взаимосвязи форм представления моделей
Наиболее прост формальный переход путем замены оператора дифференцирования на комплексный аргумент s от дифференциального уравнения (3.2) к передаточной функции (3.4) и обратно. По этой причине на рис. 3.8 обе эти формы представлены в одной и той же вершине графа.
При переходе к передаточным функциям следует избегать сокращения общих делителей полиномов числителей и знаменателей, появляющихся из-за наличия так называемых диполей рациональных функций — одинаковых нулей и полюсов передаточной функции. Такое сокращение приводит к потере части собственных составляющих движения.
Штриховые дуги графа взаимосвязи (см. рис. 3.8) отвечают переходам, рассматриваемым обычно в задачах идентификации. По временным и/или частотным характеристикам, полученным экспериментально, оценивают параметры передаточных функций или ординаты характеристик иного типа. Такие переходы оказываются неоднозначными, а их результаты зависят от выбора структуры оператора и алгоритма обработки данных.