9. Интегральная формула Муавра – Лапласа.

Вновь предположим, что производится n испытаний , в которых вероятность появления события А постоянна и равна . Как вычислить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее и не более этот вопрос отвечает интегральная теорема Муавра- Лапласа.

Теорема. В условиях интегральной формулы Муавра-Лапласа вероятность

где

, - функция Лапласа.

При решении задач, требующих применения интегральной формулы Муавра – Лапласа , используют специальные таблицы, так как определенный интеграл не выражается через элементарные функции.

Таблицы даны для положительных значений х и для х=0. Для х<0, пользуются ими же, учитывая , что Ф(-х) = - Ф(х).

Пример. Вероятность наступления события А в данном испытании равна 0,5. Найти вероятность того, что событие А наступит от 500 раз до 530 раз в 1000 испытаниях.

Решение.

n = 1000, p = 0,5,

,

= 0, = =

10. Случайные величины

Определение. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Примеры: Число появления герба при трех бросаниях монеты.

Случайные величины обозначают прописными буквами X,Y,Z,…, а их возможные значения – x,y,z,…

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

Ряд распределения ( закон распределения)

Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется рядом распределения:

				…
				…

где .

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Пример.

Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея боезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

Решение.

Случайная величина Х – число неизрасходованных патронов имеет четыре возможных значения:0,1,2,3.

Строим ряд распределения вероятностей:

11.Функция распределения

Ряд распределения не является исчерпывающей характеристикой, он существует только для дискретных случайных величин, для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя.

Функцией распределения случайной величины называется функция , выражающая вероятность того, что принимает значения меньше, чем : .

Свойства :

1) 0≤ F(x) ≤ 1;

2) Функция есть неубывающая функция;

3) ;

4) ;

5) Для дискретных случайных величин есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

Пример 1.

Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий.

Решение.

Строим ряд распределения вероятностей, используя формулу:

Пример 2.

Случайная величина задана рядом распределения

	3	5	7	11
	0,14	0,20	0,49	0,17

.

Найти функцию распределения случайной величины X и построить ее график.

Решение.

1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , то

.

4. Если , то

5. Если , то

.

Строим график.