38. Вероятность. Аксиоматика теории вероятностей

Вероя́тность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события.

С практической точки зрения, вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина — женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента.

В современном математическом подходе классическая (то есть не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова. Вероятностью называется мера P, которая задаётся на множестве X, называемом вероятностным пространством. Эта мера должна обладать следующими свойствами.

• .

• .

• Мера P обладает свойством счётной аддитивности (сигма-аддитивности): если множества A₁, A₂, …, A_n, … не пересекаются, то 

Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности: если множества A₁ и A₂ не пересекаются, то  . Для доказательства нужно положить все A₃, A₄, … равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X. Достаточно определить её на сигма-алгебре  , состоящей из некоторых подмножеств множества X. При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X, то есть как элементы сигма-алгебры  .

39. Комбинаторный анализ

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисленияэлементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

2 Разделы комбинаторики

• 2.1 Перечислительная комбинаторика

• 2.2 Структурная комбинаторика

• 2.3 Экстремальная комбинаторика

• 2.4 Теория Рамсея

• 2.5 Вероятностная комбинаторика

• 2.6 Топологическая комбинаторика

• 2.7 Инфинитарная комбинаторика

Перечислительная комбинаторика

Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.

Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок. Другой пример — известная Задача о письмах.