Теорема гипотез (формула Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез Н₁, Н₂, …., Н_n. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно Р(Н₁), Р(Н₂)…. Р(Н_n).

Произведен опыт, в результате которого наблюдалось появление некоторого события А. Как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением этого события? По существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н_i/А) для каждой гипотезы.

Р(Н_i/А) = [Р(Н_i)×Р(Н_i/A] / [∑Р(H_i)×P(A/H_i)], i = 1, 2, …, n (17)

41. Формула полной вероятности, формула Байеса

См.40

42. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли

Проводится серия из nнезависимых испытаний, каждое из которых заканчивается либо “успехом” либо “неуспехом”, в каждом испытании (опыте) вероятность успеха p, а вероятность неуспеха q=1-p. Вероятность того, что в серии будет реализовано ровно k “успехов” вычисляется по формуле

, где 0<p<1, k=0, 1, …, n,  ,  .

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Теорема: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность   того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:  , где  .

43. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона

Теорема Пуассона

 

Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и   так, что  ,  , то при любых 

Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле  можно воспользоваться приближенной формулой

, т.е. использовать формулу Пуассона для  = np.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9.

 

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Пусть 0< p <1 и величина   при n    ограничена. Тогда  .

На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9.

Точность формулы   растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.

 

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

 

Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n    для любых a и b справедлива формула

.

Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в nиспытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

,

где  ,  ,   - функция Лапласа.

Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.

Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула

и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k₁ и k₂, можно использовать формулу

, где  ,  .

44. Случайные величины. Дискретная случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, в виде формулы (аналитически) и графически.