Билет 5

Зако́н сохране́ния эне́ргии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что энергия изолированной (замкнутой) физической системы сохраняется с течением времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может исчезнуть в никуда, она может только переходить из одной формы в другую Закон сохранения механической энергии может быть выведен из второго закона Ньютона^[5], если учесть, что в консервативной системе все силы, действующие на тело, потенциальны и, следовательно, могут быть представлены в виде ,где  — потенциальная энергия материальной точки (  — радиус-вектор точки пространства). В этом случае второй закон Ньютона для одной частицы имеет вид ,где m — масса частицы,  — вектор её скорости. Скалярно домножив обе части данного уравнения на скорость частицы и приняв во внимание, что , можно получить Путём элементарных операций это выражение может быть приведено к следующему виду Отсюда непосредственно следует, что выражение, стоящее под знаком дифференцирования по времени, сохраняется. Это выражение и называется механической энергией материальной точки. Первый член в сумме отвечает кинетической энергии, второй — потенциальной.Этот вывод может быть легко обобщён на систему материальных точек^[В термодинамике исторически закон сохранения формулируется в виде первого принципа термодинамики:Изменение внутренней энергии термодинамической системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил над системой и количества теплоты, переданного системе, и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход

или альтернативно^[6]:Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних силВ математической формулировке это может быть выражено следующим образом: ,

где введены обозначения Q — количество теплоты, полученное системой, ΔU — изменение внутренней энергии системы, A — работа, совершённая системой.Закон сохранения энергии, в частности, утверждает, что не существует вечных двигателей первого рода, то есть невозможны такие процессы, единственным результатом которых было бы производство работы без каких-либо изменений в других телах.

Билет 6

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).Единица измерения СИ: кг·м².Обозначение: I или J.Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется физическая величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси: ,где:m_i — масса i-й точки,r_i — расстояние от i-й точки до оси.Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. ,где:dm = ρdV — масса малого элемента объёма тела dV,ρ — плотность,r — расстояние от элемента dV до оси a.Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если  — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен ,где  — полная масса тела.Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h, радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на бесконечно малые, толщины dr, полые концентрические цилиндры с внутренним радиусом r и внешним радиусом r + dr. В момент инерции каждого полого цилиндра определяется:Т.к. dr << r, то расстояние от оси до точек цилиндра равно r. dm — масса всего элементарного цилиндра, его объем dV = 2p r h dr. Если r — это плотность материала, то m = r×V, тогда dm = 2p×r×h×r×dr. Отсюда dI = 2p×h×r×r³×dr, тогда Нахождение момента инерции для цилиндра упрощалось вследствие того, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции искали относительно оси симметрии. Момент инерции относительно любой другой оси можно определить с помощью теоремы Штейнера, или еще говорят — Гюггенса-Штейнера.ТЕОРЕМА: Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.I = I_c + ma² (3)