Линии второго порядка на проективной плоскости

Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых удовлетворяют в некотором репере R уравнению второй степени:

a₁₁x₁²+a₂₂x₂²+a₃₃x₃²+2a₁₂x₁x₂+2a₁₃x₁x₃+2a₂₃x₂x₃=0, называется линией (ЛВП) или кривой второго порядка, причем коэффициенты a_ij≠0 одновременно.

Понятие ЛВП не зависит от выбора репера.

Ранг квадратичной формы ∑a_ijx_ix_j=0 называется рангом ЛВП.

Линия называется невырожденной, если её ранг равен трем и вырожденная, если ранг меньше трех.

Лемма: Любая прямая пересекает невырожденную ЛВП не более чем в двух точках.

Проективная классификация ЛВП.

Рассмотрим квадратичную форму. В векторном пространстве известно, что всегда существует базис, в котором квадратичная форма имеет нормальный вид: е₁х₁²+е₂х₂²+е₃х₃²=0, где е₁, е₂, е₃=±1 или 0.

Поэтому можно выделить следующие виды ЛВП на проективной плоскости:

1. Если r = 3 х₁²+х₂²+х₃²=0 – такая линия называется нулевой

х₁²+х₂²-х₃²=0 – овальная ЛВП

2. Если r = 2 х₁²+х₂²=0 – пара мнимых пересекающихся прямых

х₁²-х₂²=0 – пара действительных пересекающихся прямых

3. Если r = 1 х₁²=0 – пара совпавшихся прямых.

Вопрос 11. Операции над векторами

Для раскрытия первого вопроса достаточно дать определения скалярного, векторного и смешанного произведения векторов, пере­числить их основные свойства (которые в ряде учебных пособий представлены в виде теории), и представить доказательство некоторых свойств. Необходимо знать специфические свойства каждого из произведений. Например, некоторые свойства скалярного произведения векторов совпадают с соответствующими свойствами произведе­ния чисел: а*в= в* а, а*(в+с}=а*в+а*с. Но скалярное произведение обладает и особыми свойствами, которыми не обладает произведение чисел. Вот некоторые из них: а) Скалярное произведение двух векторов есть число, множественное. Объект не той природы, что сомножители, а другой, б) Для чисел, если х-y=о, то это означает, что одно из чисел равно нулю. Аналогичного свойства для векторов нет. в) Ес­ли о, то числовое уравнение ах= имеет единственное решение (х=/2).Но уравнение для скалярного произведения в-в =х= не имеет смысла (а для векторного произведения вопроса не имеет). Затем целесообразно перечислить приложение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов к решению задач. Например, векторное произведение векторов находит свое, применение при нахождении площади треугольника, смешанное произведение - объема тетраэдра и привести примеры задач.

При ответе на этот вопрос от студента требуется знание основных понятий , включая понятия вектора , базиса векторов , линейно за­висимые и линейно независимые векторы , линейной комбинации векторов. Необходимо знать, как выражается различное произведение векторов через координаты вектора.

Теорема 1: Скалярное произведение векторов и , заданные в ортонормированном базисе, выражается формулой:

.

Теорема 2: Если векторы в ортонормированном базисе имеют координаты , то , где = 1, если базис правый, и = -1, если базис левый

Теорема 3: Если векторы и в ортонормированном правом базисе имеют координаты и , то вектор [ ]имеет координаты:

[ ] Докажем это.

Пусть координаты вектора [ ] (x,y,z).

Тогда [ ]=

[ ] =

[ ] =

[ ] =

С учетом предыдущей теоремы и условий ортонормированности базиса( ), получили

X= ; Y= ; Z= что и требовалось доказать.

Основные определения:

Направленный отрезок (упорядоченную пару точек) называют вектором. Обозначают АВ или Здесь A – начало вектора, B – конец вектора. Расстояние между началом и кон­цом вектора называют его длиной (или модулем, или абсолютной ве­личиной). Обозначают |АВ | или | |. Если точки А и В совпадают, то вектор называют нулевым и обозначают знаком Его модуль равен нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на па­раллельных прямых (или на одной прямой). Ненулевые коллинеарные векторы либо имеют одно и тоже направление и называются в этом случае сонаправленными, или одинаково направленными, либо имеют противоположные направления и называются противоположно на­правленными. Векторы называются компланарными, если они ле­жат в одной плоскости или параллельных плоскостях. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Два ненулевых вектора называются равными, если они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину. От каждой точки можно отложить единственный вектор, рав­ный данному.

Над векторами можно выполнять следующие операции:

1) Сложение векторов.

Суммой а + b двух векторов a и b называется вектор, кото­рый идет из начала вектора a в конец вектора b, при условии, что вектор b отложен от конца вектора a. Это построение называется правилом треугольника. Сумма векторов a + b не зависит от вы­бора начала вектора a.

Если векторы а и b приведены к общему началу и на них по­строен параллелограмм, то сумма а + b есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала векто­ров а и b. Это построение называется правилом параллелограмма.

2) Вычитание векторов.

Разностью векторов а и b называется такой вектор x, что b+x=a. Если векторы а и b имеют общее начало, то их разность есть вектор, идущий из конца вектора b в конец вектора a.

Изобразим перечисленные правила на чертеже.

3)Умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора a на действительное число 0 называется вектор b, обозначаемый b=  а, и определенный следующими условиями

1.  b  =    а 

2. Вектор b коллинеарен вектору a.

3. Векторы b и a направлены одинаково, если   0 и противоположно, если   0. Если a= или =0, то полагают a = .

Система векторов а₁, а₂, …,а_m называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа с₁, с₂, …,с_m, одновре­менно не равные нулю, что имеет место равенство c₁a₁+с₂a₂+..с_ma_m =0. В противном случае эта система векторов называется линейно не­зависимой.

Имеют место следующие теоремы:

Т1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы и на­оборот, два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Т2. Три компланарных вектора линейно зависимы и наоборот, три некомпланарных вектора линейно независимы.

Т3. Каждые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Базисом на плоскости является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов этой плоскости. Базисом в пространстве является любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Рассмотрим систему векторов a₁, a₂,….,a_m и зададим m действи­тельных чисел c₁, с₂, …,с_m. Вектор b= c₁a₁+с₂a₂+…+с_ma_m называется линейной комбинацией данных векторов a₁, a₂,…,a_m.

Т4. Пусть на плоскости выбран базис е₁, е_2. Тогда любой вектор а этой плоскости можно представить, и притом единственным обра­зом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Т5. Пусть в пространстве выбран базис е₁, е₂, е₃ .Тогда любой вектор а пространства можно представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Если е_1, е_2, е₃ – базис и вектор а = ₁ е₁ + ₂ е₂ + ₃е₃, то числа _1, _{2 ,} ₃ называются координатами вектора а в данном базисе. Записыва­ется а (_1, _{2 ,}₃). Равные векторы имеют равные координаты.

Для векторов, заданных своими координатами, имеют место следующие свойства:

1) При умножении вектора а = ₁е₁+₂ е₂+₃е₃ на число  его координаты умножаются на это число:  а =(₁)е₁+(₂) е₂+(₃)е_3.

2) При сложении (вычитании) векторов а = ₁ е_{1 +} ₂ е₂ +₃е₃ и b = ₁ е_{1 +} ₂ е₂ +₃е₃ складываются (вычитаются) их соответствующие координаты: а  b = (₁  ₁ ) е₁ + (₂  ₂ ) е₂ + (₃  ₃ ) е₃

Углом между двумя ненулевыми векторами а и b, где a=ОА, b=OB называется меньший угол АОВ между этими векторами.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называ­ется число, равное произведению длин векторов-сомножителей на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается (а,b).

По определению, (а , b) =  a  b  cos , где - угол между век­торами а и b. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение считают равным нулю.

Свойства скалярного произведения:

1. (а , b) = (b , a) для любых а и b

2. (а, a) = а ² =  a ² для любого a

3. Если a  , b  ,  / 2, то (а , b) = 0. Если a  , b  , (а ,b)=0, то a b

4. (а , b) = (а , b) =  (а , b) для любых а и b.

5. (а, b + c) = ( a , b) + ( а , c ) для любых а , b,с

Пусть в прямоугольной системе координат в пространстве век­торы а и b заданы своими координатами: а (X_1, Y_1,Z₁), b (X_2, Y_{2 ,}Z₂). Тогда (а , b) = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂.

Обозначим через , ,  углы, которые составляет вектор а с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора а. При этом справедливы следующие соотношения: X =  а  cos, Y =  а  cos , Z =  а  cos, где X, Y, Z – координаты вектора а.

Упорядоченная тройка ненулевых векторов а_1, а_2, а₃ – с общим началом называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден в направле­нии, противоположном направлению движения часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Векторным произведением ненулевого вектора а на ненулевой вектор b называется вектор с, определенный следующими условиями:

1)  c = a   b  sin  (  - угол между векторами а и b )