18.Язык логики высказываний.

Язык логики высказываний используется для рассмотрения суждений без учета их внутренней структуры. Он использует содержательные символы.

Логика высказываний – это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:

1. Неограниченное множество переменных: А, В, С, ..., А¹, В¹, С¹, ..., представляющих высказывания;

2. Особые символы для логических связок: & – «и»; л – «или»; Л – «либо, либо»; → – «если, то»; ↔ – «если и только если»; ~ – «неверно, что» .

3. Скобки, играющие роль знаков препинания

Пример: «Сейчас день» - А, «Сейчас светло» - В; «Сейчас холодно» - С

"Если сейчас день, то сейчас светло или холодно":

А → В лС, или (А → (В л С))

"Если сейчас светло и холодно, то сейчас день":

В & С → А, или ((В & С) → А)

"Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день":

~ В → ~ А, или ((~ В) → (~ А))

Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности.

С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно.

Истинная формула логики высказываний (тавтология) — это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.

Ложная формула (логическое противоречие) всегда превращается в ложное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.

19.Способ построения таблицы истинности для формул логики высказывания.

Логика высказываний – это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает:

1. Неограниченное множество переменных: А, В, С, ..., А¹, В¹, С¹, ..., представляющих высказывания;

2. Особые символы для логических связок: & – «и»; л – «или»; Л – «либо, либо»; → – «если, то»; ↔ – «если и только если»; ~ – «неверно, что» .

3. Скобки, играющие роль знаков препинания

Пример: «Сейчас день» - А, «Сейчас светло» - В; «Сейчас холодно» - С

"Если сейчас день, то сейчас светло или холодно":

А → В лС, или (А → (В л С))

"Если сейчас светло и холодно, то сейчас день":

В & С → А, или ((В & С) → А)

"Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день":

~ В → ~ А, или ((~ В) → (~ А))

Логика высказываний исходит из следующих двух допущений:

1. Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (принцип двузначности)

2. Истинное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи.

Табличные определения союзов:

1. Конъюнкция (и - л) истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны;

2. дизъюнкция (или - v) истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее

высказываний истинно;

3. Строгая дизъюнкция (или - ) истинна, когда одно из входящих в нее

высказываний истинно, а второе ложно;

4. Импликация (если.. то - →) истинна в трех случаях: ее основание и следствие истинны; основание ложно, а следствие истинно; и основание, и следствие ложны;

5. Эквивалентность (если и только если - ↔) истинна, когда два приравниваемых в ней

высказывания оба истинны или оба ложны;

6. Отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот.

С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно.

Истинная формула логики высказываний (тавтология) — это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.

Ложная формула (логическое противоречие) всегда превращается в ложное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных.