Лабораторная работа №3 Вычисление определенных интегралов

Задание.

Найти значение определенного интеграла методами, указанными преподавателем.

Пример.

Найти значение определенного интеграла тремя методами (по формулам прямоугольников , трапеций и Симпсона). Оценить погрешность по правилу Рунге.

Выполнение работы.

Формула левых прямоугольников :

, ( 1 )

где , , n-число интервалов разбиения .

Формула трапеций :

( 2 )

Формула Симпсона :

, ( 3 )

где 2n-четное число интервалов разбиения.

1. Введем число интервалов разбиения в ячейку В2 (для формулы Симпсона оно должно быть четным, поэтому выберем 10) , нижний предел интегрирования - в С2 , верхний предел - в D2. Шаг вычислим по формуле =(D2-C2)/B2 в ячейке Е2. В ячейку А4 введем ссылку на С2 , а в А5 введем формулу вычисления аргумента =А4+$E$2. Распространим ее вниз на необходимое количество ячеек. Для этого захватим курсором мыши маркер в правом нижнем углу рамки выделения ячейки A5 и перетащим его вниз на необходимое число ячеек. Полученный столбец значений аргумента озаглавим “Х” в ячейке А3. В ячейку В4 введем формулу, вычисляющую подынтегральную функцию =cos(A4), и распространим ее аналогичным способом вниз. Полученный столбец озаглавим “Y” в ячейке В3.

2. В ячейку С4 вставим формулу =В4. Эта ссылка избавит нас от лишних вычислений. Распространим формулу до ячейки С14 включительно. В ячейке С15 найдем значение интеграла методом прямоугольников, введя формулу =СУММ(C4:C14)*$E$2.

3. Для того , чтобы найти значение интеграла по формуле трапеций, вставим в ячейку D4 ссылку на В4. Распространим ее вниз на необходимое число строк. Отредактируем формулы в ячейках D4 и D13 в соответствии с формулой трапеций ( 2 ). В ячейке С14 найдем значение интеграла по формуле трапеций , вычислив сумму и умножим ее на шаг.

4. Для нахождения интеграла по формуле Симпсона сформируем столбец Е4:Е13 аналогично предыдущему пункту. Отредактируем формулы в соответствии с формулой Симпсона (3 ). В ячейке D14 найдем значение интеграла по формуле =СУММ(E4:E14)*$E$2/3.

5. Для оценки погрешности вычислений по правилу Рунге необходимо вычислить значение интеграла с удвоенным шагом. Применим эту процедуру к вычислениям по формуле Симпсона. В область F4:F14 скопируем через одну формулы из области E4:E14 и отредактируем их в соответствии формулой (3 ). В ячейке F15 получим значение интеграла по формуле Симпсона с удвоенным шагом. В ячейку F16 вводим формулу =ABS(F15-E15)/15 для оценки погрешности.

6. Полученная таблица представлена на рисунке 15.

Рис. 15. Результаты численного интегрирования.

Лабораторная работа №4 Решение систем линейных уравнений

Задание.

Решить систему линейных уравнений. Выполнить проверку.

Пример.

Требуется решить систему линейных уравнений

( 4 )

Выполнение работы.

Введем обозначения

, , .

Тогда система ( 4 ) запишется в виде

AX = B. ( 5 )

Если матрица А является невырожденной (det A 0), то система ( 5 ) имеет единственное решение

X= A^-1B. ( 6 )

1. Введем значения коэффициентов при неизвестных, т.е. матрицу А, в блок ячеек A2:D5. Значения свободных членов (матрицу - столбец B) введем в блок F2:F5.

2. В ячейке H2 найдем значение det A. Для этого выделим эту ячейку и вызовем Мастер функций. В окне диалога “Мастер функций - шаг 1 из 2” выберем категорию Мат. и тригонометрия, а в ней функцию МОПРЕД. Нажмем кнопку “Шаг>“ и затем в окне диалога “Мастер функций - шаг 2 из 2” укажем массив A2:D5. Завершим работу с Мастером функций, нажав кнопку “Закончить”. В ячейке H2 получим значение определителя матрицы A, равное 15461.

3. Выделим интервал ячеек A8:D11 для матрицы A^-1. Вызовем Мастер функций, выберем категорию Мат. и тригонометрия, затем функцию МОБР (см. рис. 16).

Рис. 16. Диалоговое окно “Мастер функций - шаг 1 из 2”.

В окне диалога “Мастер функций - шаг 2 из 2” укажем массив A2:D5. После нажатия кнопки “Закончить” получим только один элемент обратной матрицы в левом верхнем углу. Для того, чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо для этой ячейки войти в режим редактирования формул и нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Формула в строке редактирования будет заключена в фигурные скобки и распространена на все ячейки выделенной области. В результате мы получим полностью сформированную обратную матрицу.

4. Выделим блок ячеек F8:F11 под вектор-столбец решения, вызовем Мастер функций и с помощью функции МУМНОЖ из категории Мат. и тригонометрия умножим обратную матрицу (A8:D11) на вектор-столбец свободных членов (F2:F5). Для получения всего вектора, как и в предыдущем случае, после нажатия кнопки “Закончить” следует войти в режим редактирования формул и нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

5. Выполним проверку, перемножив матрицы А и B.

Полученная таблица представлена на рис. 17.

Рис. 17. Решение системы линейных уравнений.