Датчики авионики / ТЕМА 03 / погрешности

РАСЧЕТ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

При измерении некоторой физической величины с помощью измерительного прибора возникает погрешность измерения. Погрешность измерения складывается из методических, динамических и инструментальных погрешностей. Методические погрешности, свойственные приборам, основанным на косвенных мететодах измерения. Динамические погрешности были рассмотрены в гл. III. Данная глава посвящена инструментальным погрешне стям приборов и датчиков.

Определения и классификация инструментальных погрешностей

Инструментальные погрешности приборов и датчиков можно представить в абсолютных или относительных величинах. Абсолютная погрешность, приведенная ко входу прибора или датчика:

где х – показание прибора (сигнал датчика) в единицах измеряемой величины;

х_о – действительное значение измеряемой величины.

Абсолютная погрешность, приведенная к выходу прибора или датчика:

где у – фактический выходной сигнал;

у_о – значение выходного сигнала, отвечающее действительному значению измеряемой величины.

Рассматривая ∆у как дифференциал функции у=ƒ(х), получим связь между абсолютными погрешностями, приведенными ко входу и выходу:

где S = – чувствительность прибора (датчика).

Рис. 4.1. К определению абсолютной погрешности

Абсолютные погрешности ∆х и ∆y можно определить графически (рис. 4.1), если построить статическую характеристику идеального (не имеющего погрешностей) прибора (кривая 1) и статическую характеристику реального прибора (кривая 2). Погрешность ∆х; определяется как разность абсцисс кривых 1 и 2, а погрешность ∆у – как разность ординат кривых 2 и 1. Погрешность считается положительной, если у>∆у_о.

Относительная погрешность прибора (датчика) равна отношению абсолютной погрешности к текущему значению сигнала:

В приборостроении оценивают точность приборов (датчиков) с помощью приведенной относительной погрешности, равной отношению абсолютной погрешности к абсолютной величине диапазона измерения:

Класс точности прибора равен наибольшему значению приведенной относительной погрешности ζ, выраженному в процентах:

А = ζ_m·100 %

Инструментальные погрешности можно классифицировать по различным признакам.

1. В зависимости от характера связи между величиной абсолютной погрешности и уровнем сигнала различают аддитивные и мультипликативные погрешности¹.

Аддитивные погрешности – это погрешности, абсолютное значение которых, не зависит от уровня сигнала; они возникают в тех случаях, когда под влиянием тех или других факторов статическая характеристика измерительного устройства смещается вверх или вниз на величину ∆y_а без изменения наклона (рис. 4.2).

-

Р

Рис. 4.3. К определению мультипликативной погрешности:

а – изменение наклона характеристики; б – график мультипликативной погрешности

ис. 4.2. К определению аддитивной погрешности:

а – сдвиг характеристики; б – график аддитивной погрешности

Мультипликативные погрешности – это погрешности, величина которых пропорциональна уровню сигнала. Они возникают при изменении наклона статической характеристики; без ее сдвига (рис. 4.3), при этом чувствительность прибора (датчика) изменяется на постоянную величину

Относительное значение мультипликативной погрешности не висит от уровня сигнала:

Погрешность прибора и датчика может содержать как аддитивную, так и мультипликативную составляющие:

∆у = ∆у_а + ∆у_м. (4.3)

Здесь и в дальнейшем индексом «а» обозначена аддитивная составляющая, индексом «м» — мультипликативная.

В общем случае могут иметь место более сложные виды функциональных связей между погрешностью и полезным сигналом, приводящие к изменению формы характеристики.

2. В зависимости от закономерности появления погрешностей прибора или датчика при его многократном контроле различают систематические и случайные погрешности.

Систематические погрешности имеют определенное значение в каждой точке характеристики прибора (датчика) и повторяются при его многократном контроле в одних и тех же условиях. Случайные погрешности – это погрешности, имеющие рассеяние по величине и по знаку при многократном контроле в одних и тех же условиях, появление тех или иных значений случайных погрешностей при единичных замерах незакономерно. Например, погрешность, возникающая из-за неуравновешенности подвижной системы, является систематической, погрешность, обусловленная влиянием сил трения в опорах, – случайной.

3. В зависимости от причин, порождающих инструментальные погрешности, последние делятся на производственно-технологические, температурные, возникающие от действия вредных сил, от гистерезиса, от упругого последствия и др.

Производственно-технологические погрешности вызываются неточностью выдерживания геометрических размеров деталей, разбросом физических параметров исходных материалов и т. п.; в число производственно-технологических погрешностей входят шкаловые погрешности, обусловленные неточностью регулировки узлов и приборов.

Температурные погрешности обусловлены изменением физических (в том числе геометрических) параметров прибора при изменении температуры окружающей среды.

Погрешности от вредных сил обусловлены действием на чувствительный элемент и подвижную систему прибора сил сухого трения, сил небаланса подвижной системы, сил электромагнитного или электростатического притяжения и т. п.

Погрешности от гистерезиса и упругого последствия вызываются силами внутреннего трения в материале чувствительных и преобразующих элементов.

В технических условиях на приборы и датчики обычно устанавливают отдельно допуски на так называемую основную погрешность и на дополнительные погрешности. Под основной погрешностью понимают погрешность прибора (датчика) при нормальных условиях (при нормальной температуре, нормальном атмосферном давлении, отсутствии вибрации и линейных ускорений) .

Дополнительными погрешностями считают приращения погрешности, возникающие при изменении температуры, атмосферного давления, при воздействии вибрации и линейных ускорений.

РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ВИДОВ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

1. Расчет производственно-технологических погрешностей

При расчете статических характеристик конкретных приборов (§ 2.5) было установлено, что величина выходного сигнала зависит не только от измеряемой величины х, но и от целого ряда параметров:

у=ƒ(х, q₁, q₂, . . q_п), (4.4)

где q₁, q₂, . . q_п – параметры схемы и конструкции, влияющие на выходной сигнал

К параметрам q₁, q₂, . . q_п относят геометрические размеры деталей и величины, характеризующие физические свойства материалов (модуль упругости, удельное электрическое сопротивление, магнитную проницаемость и др.).

Если параметры q₁, q₂, . . q_п постоянны, то уравнение (4.4), будет однозначно устанавливать зависимость у от х.

При отклонении этих параметров от начальных значений выходной сигнал у при постоянном х получит некоторое приращение:

∆y = ƒ(x, q₁ + ∆q₁, q₂ + ∆q₂ … q_n + ∆q_n) – ƒ(x, q₁ , q₂ … q_n).

Поскольку первичные ошибки ∆q₁, ∆q₂ , … ∆q₂ практически ма­лы по сравнению с параметрами q₁, q₂, . . q_п, то в соответствии с теорией точности механизмов [5] зависимость между приращением сигнала ∆у и первичными ошибками можно приближенно представить в виде полного дифференциала функции (4.4):

∆y = ,

Нулевой индекс у частных производных означает, что они вычисляются для начальных (расчетных) значений q₁, q₂, . . q_п

множитель представляет собой коэффициент влияния первичной ошибки ∆q₁ на ошибку выходного сигнала прибора (датчика).

Ч астный случай. Характеристики многих измерительных систем приводятся к виду

где k_i – показатели степени (постоянные числа, положительные или отрицательные, целые или дробные).

Логарифмируя обе части выражения (4.5а), получим новую функцию:

Дифференциал г при; x = соnst;

откуда

Следовательно, для приборов и датчиков со статической характеристикой вида (4.5а) относительная погрешность выходного сигнала равна сумме произведений относительных погрешностей параметров на показатели степени этих параметров.

П олученные формулы применимы как к приборам и датчикам в целом, так и к отдельным их элементам. Например, характеристика спиральной пружины (см. табл. 2.2) приводится к виду (4.5а):

Относительная погрешность пружины, вызванная отклонением параметров l, b, h и Е от расчетных значений, согласно (4.6) будет

2. Температурные погрешности

Выражение (4.5) можно использовать для расчета температурных погрешностей, если считать, что приращения ∆q_i параметров q_i произошли в результате изменения температуры окружающей среды.

Полагая параметры q_i, линейно зависящими от температуры:

где α_i – температурный коэффициент параметра;

q_i0 – значение параметра q_i при нормальной температуре, получим приращения этих параметров в виде

Подставляя зависимость (4.7) в выражение (4.5), найдем общую температурную погрешность прибора, датчика или отдельного звена:

Откуда условие температурной компенсации будет

Частный случай. Если статическая характеристика прибора, датчика или звена приводится к виду (4.5а), то, подставляя соотношение (4.7) в выражение (4.6), получим относительную температурную погрешность:

откуда общий температурный коэффициент всего устройства

и условие температурной компенсации

Пример.

Рассматривая электрическую цепь термоэлектрического термометра (см. рис. 2.6) как четырехполюсник, преобразующий электродвижущую силу е в силу тока i, получим статическую характеристику этого звена в виде

Требуется определить условие температурной компенсации, если известно, что температурные коэффициенты рамки r, шунта R_ш и добавочного сопротивления R_Д соответственно равны α_r = 0,004, α_ш = 0,006 и α_д = 0.

Решение

Согласно формуле (4.8) условие температурной компенсации применительно к данной электрической цепи будет иметь вид

Определяем частные производные дифференцированием выражения (4.11):

Производную …. Можно не определять, так как температурный коэффициент α_д = 0.

Подставляя (4.13) в (4.12), получим

откуда условие температурной компенсации

или с учетом заданных значений α_ш и α_r

1 Аддитивные и мультипликативные погрешности рассматриваются здесь применительно к приборам и датчикам, имеющим линейную характеристику, но они имеют место и в приборах и датчиках с нелинейными функциями пре­образования.