Шпоры по топологии / шпора по разделу 2
.doc
1.
Отображение
лин. пр-ва V
на V’
назовем закон в соотетствии с которым
вектору из V
соответствует единственный вектор из
V’
(x’
– образ x,
x-
прообраз x’);
Отображение назовем
линейным, если выполняется 2 условия
сумма и произведение:
x,
y
из V,
Â(x+y)=Âx+Ây;
x
из V,
Â(α
x)=
α
 x;
Линейным отображением
V→V
(в себя) назовем линейным преобразованием
или линейным оператором.
Примеры:
единичный Ê(x+y)=
Êx+
Êy;
Ê(αx)=α
Êx;
скалярный Ĥ:V→V;
Ĥx=λx;
проектирования,
симметрии, дифференцирования
3.
Преобразование матрицы линейного
отображения при преобразовании базисов
AX=Y(старый
базис); A’X’=Y’(новый);
X=PX’;
Y=QY’;
(где q
и p
матрицы перехода); APX’=QY’;
A’=P-1AP;
Т-а:
ранг матрицы при преобразования не
меняется.
4. Свойства
линейных отображений:
1. при лин. отображение
0→0;
2. при лин. отображении
л/з отображается л/з
3. Â:Vn→Vm;
если x1’..xn’
-л/нз система в Vm
=> существует л/нз и в Vn;
4. Â:Vn→Vm;
dim
Â(U)=<dim
U,
если U
вкл. в Vn,
а Â(U)
вкл. в Um;
5. Ядро -
множество векторов, отображающихся в
нулевой вектор при Â (Ker
Â); dim
KerÂ=n-
rangÂ;
Ранг
линейного оператора – dim
образа Â.
Образ
- мн-во всех векторов Vn
y=Âx;
Im
Â=y
из Vn;
Дефект
– размерность ядра
Т-а1:
ядро Â:Vn→Vn
является л. под-вом пр-ва Vn
и dim
KerÂ=n-
rangÂ
Д-во:
Âx=0;
все корд. Столбцы векторов ядра будут
удовл. А и dim=числу
решений фунд.
системе решений о с у;
Т-а2:
при Â:Vn→Vm
KerÂ=0;
rang
A=n;
Д-во:
допустим х не 0; тогда А не инъекция;
Допустим существуют
x,
y
из Vn:
Âx=Ây,
x
не =y
=> Âx-Ây=0;
Â(x-y)=0;
x-y
не 0;
6. Действия
с линейными отображениями
Сложение:
сумма - (Â +`B):V→Vn
по правилу (Â+`B)x=Âx+`Bx;
Т-а: сумма линейных
отображений является линейным
отображением
Умножение на
число: Â *α:
V→Vn;
(αÂ)x=α(Âx);
Т-а: произведение
линейного отображения на скаляр является
линейным отображением
Умножение: `B*Â:
V→V’’;
(BÂ)x=B(Âx);
(BÂ)x=z;
8. Алгебра-
кольцо, которое одновременно является
лин. пр-вом над полем F,
что выполняется λ(ab)=(λa)b=a(λb);
Dim
алгебра =
dim
пр-ва;
Аксиомы:
a+b=b+a;
a+(b+c)=(a+b)+c;
a+0=a;
a+(-a)=0;
a(b+c)=ab+ac;
(b+c)a=ba+ca;
α(b+a)=αb+αa;
(α+β)a=αa+βa;
(αβ)a=α(βa);
1a=a;
α(ab)=(αa)b=a(αb);
пример:
мн-во всех операторов, матриц nxn,
многочленов.
2. Матрица линейного
отображения
Â:Vn→Vm;
{e1..en}
– базис Vn;
{f1…fs}
– базис Vm;
Матрицей лин. Отобр-я относ-но пары Vn
Vm
называется упорядоч-й набор Âx=
Â(x1e1…xnen)
из n
строк длины s,
составленный из корд-х строк векторов.
Операторы
проектирования
V=U0+W;
x=y+z;
P1:V→V
(отображение пр-ва в себя); P2x=y
(пр-во V
на под-во U,
|| W;
1) x1=y1+z1;
x2=y2+z2;
2) αx=αy+αz;
Оператор симметрии:
V=U0+W;
x→y-z;
y:V→V;
Sx=y-x;
симметрия пр-ва V
относ. под-ва U,
|| W;
1) S(x1+x1)=y1+y2-(z1+z2)=(y1-z1)+(y2-z2)=Sx1+Sx2;
2) S(αx)=αx-αy=α(y-z)=αSx;
7. Обратное
отображение
Â- обратный, если
сущ. B:V→V
ÂB=BÂ=E; Âx=y; By=x;
Невырожденный
оператор –
если его ранг n;
Т-а:
 обратимо <=>  невырожд. д-во:
=> Â- обратимый,
ÂÂ-1=
Â-1Â=E;
матричный вид: А-1А=E;
<= rangA=n=>
есть Â-1
Т-а:
Â-обратимо, когда KerÂ=0;
3.
Преобразование матрицы линейного
отображения при преобразовании базисов
AX=Y(старый
базис); A’X’=Y’(новый);
X=PX’;
Y=QY’;
(где q
и p
матрицы перехода); APX’=QY’;
A’=P-1AP;
Т-а:
ранг матрицы при преобразования не
меняется.
9.
Инвариантное
под-во относительно Â в лин. под-ве U
в V,
если Â(U)с
U
Т-а:
Vk
–лин. под-во, Vn
инвариантно относ. Â; {e1.,
ek..en}
– базис Vn;
Т-а:
Â:Vn→Vn;
Vk,
Vn-k
инвариантны относ. Â; матрица Â имеет
диагонально блочный вид.
10.
Собственные
значения(λ)
- Â:Vn→Vn;
Âx=λx,
где x
– собств.
вектор;
Т-а:
характеристич. многочлен Â является
инвариантным при преобразовании базиса
лин. пр-ва; д-во: A’=P-1AP;
det(A’-λE)=det(P-1AP-λP-1EP)=det(=P-1(A-λE)P)=det=P-1det(A-λE)=det(A-λE);
10.
Собственные
значения(λ)
- Â:Vn→Vn;
Âx=λx,
где x
– собств.
вектор;
Т-а:
характеристич. многочлен Â является
инвариантным при преобразовании базиса
лин. пр-ва; д-во: A’=P-1AP;
det(A’-λE)=det(P-1AP-λP-1EP)=det(=P-1(A-λE)P)=det=P-1det(A-λE)=det(A-λE);