Обязательные вопросы к коллоквиуму по курсу “МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ”

Логинов А.С. ( Т1, 2000 )

1.Понятие точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема существования точных граней.

2.Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Единственности предела сходящейся последовательности. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.

3.Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Ограниченности сходящейся последовательности.

4.Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей. Теоремы о пределе произведения двух последовательностей.

5.Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей.

6.Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Связь между ними.

7.Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной последовательности (теорема о трех последовательностях).

8.Свойства последовательности стягивающихся отрезков.

9.Теорема о существовании предела ограниченной монотонной последовательности.

10.Число “e” как предел последовательности.

11.Определение подпоследовательности. Предел подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

12.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

13.Два определения предела функции в точке, теорема об их эквивалентности (доказать необходимость).

14.Два определения предела функции в точке, теорема об их эквивалентности (доказать достаточность).

15.Единственность предела функции в точке. Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Сохранение знака функцией, имеющей ненулевой предел.

16.Критерий Коши существования предела функции в точке.

17.Доказать, что

18.Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

19.Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

20.Теорема о нуле и о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке. Необходимое условие (на область значений) непрерывности функции.

21.Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.

22.Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке своих точных граней.

23.Критерий непрерывности строго монотонной функции.

24.Достаточное условие существования и непрерывности обратной функции.

25.Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.