Обязательные вопросы к экзамену по курсу “Дифференциальное исчисление”

Логинов А.С. ( T1, 2002 )

1.Понятие точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема существования граней.

2.Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Единственности предела сходящейся последовательности. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.

3.Числовая последовательность, предел числовой последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

4.Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей. Теоремы о пределе произведения двух последовательностей.

5.Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей.

6.Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Связь между ними.

7.Предельный переход в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной последовательности.

8.Свойства последовательности стягивающихся отрезков.

9.Теорема о существовании предела ограниченной монотонной последовательности.

10.Число “e” как предел последовательности.

11.Определение подпоследовательности. Предел подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

12.Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

13.Два определения предела функции в точке, теорема об их эквивалентности 15.Единственность предела функции в точке. Локальная ограниченность функции, имеющей предел. Сохранение знака функцией, имеющей ненулевой предел.

Предельный переход в неравенствах для функций.

16.Критерий Коши существования предела функции в точке.

17.Доказать, что

18.Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

19.Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

20.Теорема о нуле и о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке. Необходимое условие (на область значений) непрерывности функции.

21.Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.

22.Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке своих точных граней.

23.Критерий непрерывности строго монотонной функции.

24.Достаточное условие существования и непрерывности обратной функции.

25.Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.

26. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

Определение производной, необходимое условие существования производной, геометрический смысл производной.

27.Касательная и нормаль к графику функции.

28.Доказать, .

29.Дифференцируемость и дифференциал. Критерий дифференцируемости функции в точке. Геометрический смысл дифференциала.

30.Производная суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции.

31.Теорема о производной обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

32.Производные тригонометрических функций. Производные показательной,

логарифмической и гиперболической функций.

33.Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала первого порядка и не инвариантность формы дифференциалов высших порядков.

34.Теорема Ферма. Теорема Ролля о нуле производной.

35.Теорема Лагранжа о конечных приращениях

36.Теорема Коши о конечных приращениях

37.Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0. Раскрытие

неопределенностей других видов (без доказательства).

38.Локальная формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

39.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

40.Оценка остаточного члена формулы Тейлора. Формула Тейлора для функции e^x, cos x, sin x с оценкой остаточного члена.

41.Асимптоты графика функции и их отыскание.

42.Понятия гладкой кривой и длины дуги кривой. Спрямляемые кривые.

43.Понятие кривизны кривой и радиуса кривизны. Формулы для вычисления

кривизны и радиуса кривизны.

44.Исследование графика функции на выпуклость и точки перегиба. Исследование функции на экстремум по знаку высших производных (при помощи формулы Тейлора).

45.Максимумы и минимумы (экстремумы) функций. Необходимое условие экстремума. Исследование функции на экстремум по знаку первой производной.