РГР Ряды [15 вариант] / Типовой ряды 15 вариант №1,2,4,10,11,12,14,15

∞

9

∞

9

(1)

∞

1

1

∑

= ∑

=

∑

−

9n

2

+3n − 20

(3n +5)(3n − 4)

3n − 4

3n +5

n=1

n=1

n=1

k

1

1

1

1

1

1

1

1

Sk = ∑

−

=

−

+

−

+

−

+

3n −

4

−1

8

2

5

14

n=1

3n +5

11

1

1

−3

1

1

1

+... +

−

=

+

−

+

3k − 4

3k

+

10

5k

−

3

3k +

2

1 −3k

5

lim Sk

= lim

−3

+

1

−

1

+

1

= −3 /10

10

5k −3

3k + 2

k −>∞

k −>∞

1 −3k

(1) Представимдробь

9

(3x +5) (4x −4)

ввидесуммыпростыхдробей :

9

=

A

+

B

(3x +5) (3x − 4)

3x +5

3x − 4

отсюда:

6 _ 01_15 _ 2

в задачнике2005 годаиздания (в твердой обложке)

∞

30

∞

30

(2)

∞

15

15

∑

= ∑

=

∑

−

2

−14n +

48

(n −8)(n −6)

n −6

n=10 n

n=10

n=10

n −8

∞

15

15

15

15

15

15

15

15

15

15

Sk = ∑

−

=

−

+

−

+

−

+

−

+

n −6

2

4

3

5

4

6

5

7

n=10

n −8

15

15

25

15

15

+... +

−

=

−

−

−

8

k −

6

2

k

−

7

k −8

k

25

15

15

25

∞

30

25

lim Sk

∑

= lim

−

−

=

=

2

k −

7

k −

8

2

n

2

−14n + 48

2

k→∞

k→∞

n=10

(2) Представимдробь

30

(x −8) (x −6)

ввидесуммыпростыхдробей :

30

=

A

+

B

(x −8) (x −6)

x −8

x −6

отсюда:

30 = A (x −6)+Β (x −8)

подставляяв этосоотношение x = 8 30 = 2 A A =15

при x = 6 30 = −2B B = −15

получаем:

30

=

15

−

15

(x −8) (x −6)

x −8

x −6

6 _ 02 _15 _1

в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) :

∞

8n −10

(1)

∞

2

1

3

∑

=

∑

+

−

(n −1)(n −2)(n +1)

n −1

n=3

n=3

n − 2

1 + n

k

2

1

3

2

1

3

2

1

3

Sk = ∑

+

−

=

+

−

+

+

−

+

n −1

1

1

2

2

3

5

n=3 n − 2

+ n

4

2

1

3

2

1

3

9

2

3

3

+

+

−

+... +

+

−

=

−

−

−

3

4

6

k −1

1

2

k −1

k

1

+ k

k − 2

+ k

8n −10

A

B

C

=

+

+

.

(n −1) (n − 2) (n +1)

n − 2

n −1

n +1

Подставимв этосоотношение:

n = −1 −18 = 6С С = −3

n =1 − 2 = −2Β

B =1

n = 2 6 = 3А A = 2

Значит:

8n −10

2

1

3

=

+

−

(n −1) (n − 2) (n +1)

n − 2

n −1

1 + n

∞

−cos n

∑3

n=2

4 n3

∞

1

сравним этот рядс∑

3 / 4

n=2 n

0 <

1

≤

3 −cos n

для любыхn = 2,3,...

(

т.к.

cos n

<1 , то2

< 3 −cos

(

n

)

< 4

n3 / 4

4

n3

)

∞

1

1/ 4 ∞

(

1 / 4

)

∫2

dx = 4x

2

=

4 ∞ − 4

2

= ∞ интеграл расходитсся

x3 / 4

|

∞

1

∑

расходится(поинтегральному признаку Коши)

n

3 / 4

n=2

∞

3

−cos n тоже расходится

∑

n=2

4 n3

∞

1

(e1

n −1)

∑

n +

3

n=1

∞

сравнимданный рядс рядом∑1

n=1

n

α

1

так как приα →0

e

−1 α, топриα =

n

e1/ n −1

1/

n

n

lim

n +3

= lim

n +3

= lim

=1 ≠ 0, ∞

1/ n

n2 +3n

n−>∞

1/ n

n−>∞

n−>∞

∞

1 dx = ln x

∞

∫

=∞ нтеграл расходится

|

1

x

1

∞

∑1 3 n5...(2n

−1)

n=1

3

(n +1)!

1 3 5...(2n −1)(2n +1)

lim

un+1

= lim

3n+1 (n +2)!

= lim

2n +1

=

2

<1

un

1 3 5...(2n −1)

3

n−>∞

n−>∞

n−>∞ 3(n +2)

3n (n +1)!

lim

n5

= 0

(2n)!

n→∞

∞

5

рассмотрим ряд∑

n

n=1 (2n)!

(n +1)5

n +1

5

un+1

(2n + 2)!

(n +1)

5

(2n)!

lim

= lim

= lim

= lim

n

=

n5

(2n + 2)! n5

n−>∞

un n−>∞

n−>∞

n−>∞ (2n +1)(2n + 2)

(2n)!

∞

5

n

5

= 0 <1 ∑

n

сходится lim

= 0

n=1 (2n)!

n→∞ (2n)!

∑ (−1)

n

n (x + 6)n

∞

n=1

(3n +1) 3