Шпоры по матану [3 семестр] / тест-теория

1. установить соответствие если z=x+iy, то Re z=x ; Im z=y

1. установить соответствие i²=-1;i⁵=i

1.модуль комплексного числа z=x+iy равен

1.число z=x+iy называется комплексным, если x,y –

действительные числа, iⁿ=-1, a n=2

1.если число z=x+iy, то -z=-x-iy

1.установить соответствие если Re и Im представлены через z и z Re z= (z + z)/2; Im z= (z - z)/2i

1.если z=x+iy , то сопряженное число z равно x-iy

1.два комплексных числа z=x+iy и w=u+iv равны , когда x=u и y=v

1.если z=x+iy, x>0, то arg z=arctg

1.установить соответствие z+w=(x+u)+i(y+v); z-w=(x-u)+i(y-v); zw= (xu-yv)+i(xv+yu)

2.логарифмическая функция Ln z от комплексной переменной z=x+iy равна ln |z|+i arg z

2.если arg z =φ, то arg z=-φ

2.установить соответствие [x=0, y>0] arg z=; [x<0, y<0] arg z= arctg; [x<0,y≥0] arg z=π+ arctg

2.если lim z>0, arg z=a, то arg(-z)=-π+a

2.установить соответствие |z|=; |z|²=zz

2.если arg z =φ, то Arg zⁿ (n c N) равен nφ +2πk

2.установить соответствие для чисел z≠0, w≠0 Arg zw=Arg z+Arg w; Argz/w=Arg z-Arg w

2.если z=x+iy, то ln z равен ln|z|+i arg z

2.установить соответствие zw=z/w ; z/w= z w ?

2.если Im z<0, arg z=a, то arg(-z)=π+a

3.если r=|z|, φ=arg z, то z=r(cosφ+i sinφ)

3.формула Эйлера имеет вид e^iφ= cosφ+i sinφ

3.если z=r(cosφ+i sinφ), то сопряженное число

z=r(cosφ-i sinφ)

3.если z=r(cosφ+i sinφ), то число zⁿ (ncN) равно

rⁿ(cos nφ+i sin nφ)

3.установить соответствие e^iφ= cosφ+i sinφ

3.установить соответствие sh z=(e^z-e^-z)/2; sin z=(e^iz-e^-iz)/2

3.если z=r(cosφ+i sinφ), то (ncN) равен

(cos + isin) , k=0,1,…,n-1. ?

3.установить соответствие cos z=(e^iz+e^-iz)/2; ch z=(e^z+e^-z)/2

3.если z=r e^iφ, w=ρ e^iφ, то частное равно e^i(φ-ψ)

3. если z=r e^iφ, w=ρ e^iφ, то произведение zw равно rρe^i(φ+ψ)

4.функция φ(x,y) называется гармонической в области G,

если она имеет непрерывные частные производные первого

и второго порядка и удовлетворяет уравнению +=0

4.функция f(z) диф в точке z , если сущ производная f’(z),

которая равна

4.функция f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) удовлетворяет условиям

Коши-Римана, если

4.если z_n=x_n+iy_n, n=1,2,3,…, z₀=x₀+iy₀, то утверждение =z₀ (z_n

равносильно (эквивалентно) |z_n-z₀|

4.Условия Коши-Римана являются критерием того, что функция

f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) ?

4.аналитичность функции f(z) в области D означает, что она дифференцируема

в каждой точке области D

4.точка z=z₀ является нулем k-го порядка функции f(z) тогда и только тогда,

когда в некоторой

окрестности этой точки функция аналитическая и не равна 0

4.особой точкой функции f(z) называется точка, в которой f(z) не аналитическая

4.функция f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) – однозначно определена и непрерывна в области G,

Г – кусочно-гладкая кривая в области G, тогда равен

4.если функция f(z) аналитична в некоторой окрестности точки

z₀, а в самой точке z₀ не аналитична, то

точка z₀ называется изолированной особой точкой

5.уст.соот. ln(1+z)=; cos z=

5.если ряд cходится в точке z=z₀ , то этот ряд сходится во всех

точках |z|<|z₀|

5.уст соответ: 1) 1-z+z²-…+(-1)ⁿzⁿ+…=1/(1+z); 2) z++…++…=-ln(1-z)

5.по теореме Коши, если функция F(z) – аналитическая в односвязной

области D и Г – кусочно-гладкий

замкнутый контур, принадлежащий D, то интеграл =0

5. если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области

G с кусочно-гладкой границей Г и то интеграл равен f(z₀)

5.если ряд расходится в точке z=z₁, то этот ряд расходится

во всех точках z, таких что |z|>|z₁|

5.уст соот:1) 1+z++…++…=e^z; 2) z-+-…++…=ln(1+z)

5. если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области G

с кусочно-гладкой границей С и z₀G, то интеграл =f’(z₀)

5. 1)=; 2) e^z= ;

5.если функция f(z) – аналитическая в замкнутом кольце G: r (r≤R),

то коэффициенты C_n (nZ) ряда Лорана в G имеют вид: , где

Г - кусочно-гладкая граница

6.уст соот: 1) простой полюс: –; 2)существенно особую точку:

коэф при z^-1 со знаком минус в разложении f(z) в ряд Лорана

6.уст соот: 1) устранимая особая точка ; 2)

полюс порядка m

6.точка z= является устранимой особенностью функции f(z), если в

ряде Лорана этой функции в окрестности z=

равны нулю коэффициенты c_-k (k=1,2,…)

6. 1)существенно особая точка ; 2)

простой полюс +

6.точка z=есть полюс порядка k функции f(z), если ряд Лорана этой функции в окрестности точки z=

имеет вид:

6.если функция f(z) – аналитическая в проколотой окрестности точки а: 0<|z-a|< и , то

точка называется устранимой особой точкой

6.уст соот: 1) аналитическая 2)имеет полюс порядка 3)имеет простой полюс