Шпоры по матану [3 семестр] / тест3-теоремы
.docxЕсли F(p) – изображение оригинала f(t), то изображением f’(t) является
pF(p)-f(0)
Док:
==
=f(t)
= =-f(0)+pF(p)
Чтд
Интегралом Дюамеля называется формула вида: pF1(p)F2(p)÷
=
Вывод: Запишем произведение pF1(p)F2(p) в виде
pF1(p)F2(p)=pF1(p)F2(p) -
- f1(0)F2(p)+f1(0)F2(p) или
pF1(p)F2(p)=(pF1(p)-f1(0))F2(p)+f1(0)F2(p)
Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам f1’(t) (f1’(t)÷pF1(p) – f1(0) и f2(t). Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать pF1(p)F2(p)÷f1’(t)*f2(t)+f1(0)f2(t) или
pF1(p)F2(p)÷
÷
По теореме о дифферицировании изображения, если f(t)÷F(p), то оригиналом изображения F’(p) является –tf(t)
Док: F’(t)=()’=
= ÷ -tf(t)
Чтд
По теореме подобия, если f(t)÷F(p), то для любого постоянного >0 изображением оригинала f(t) является
Док:
==
=
Чтд
Если f(t)÷F(p) и g(t)÷, то изображением g(t) является pG(p)
Док: g’(t)÷pG(p)-g(0)=pG(p)
g’(t)=, F(p)=pG(p)
Чтд
По теореме запаздывания, для любого постоянного , изображением оригинала f(t - ) является
Док: f(t-τ)=0 при t<τ => f(t-τ)=
=
=
Чтд
Если f(t) – оригинала, то интеграл сходится абсолютно для всех значений комплексной переменной p, удовлетворяющих условию: Re p→+∞ (Re p>Re a; Re(p-a)>0; eat÷)
Док:
F(p)=
(Re p →+∞); |f(t)|≤c
Чтд
По теореме затухания, если f(t)÷F(p),
то для любого числа a изображением оригинала eatf(t) является
Док:
=
Чтд
По теореме об умножении изображений, если f(t)÷F(p), g(t)÷G(p),
то изображением свертки f(t)*g(t) является F(p)G(p)=
=
Док: f(t)*g(t)=
=
==
+
=
=G(p)F(p)
Чтд
Af(t)+Bg(t)÷AF(p)+BG(p)
Док:
=
=
+
Чтд
Т-ма смещения:
Док:
=
Чтд