Шпоры по матану [3 семестр] / тест3-теоремы
.docxЕсли F(p) – изображение оригинала f(t), то изображением f’(t) является
pF(p)-f(0)
Док:
=
=
=f(t)
=
=-f(0)+pF(p)
Чтд
Интегралом Дюамеля называется формула вида: pF1(p)F2(p)÷
=
Вывод: Запишем произведение pF1(p)F2(p) в виде
pF1(p)F2(p)=pF1(p)F2(p) -
- f1(0)F2(p)+f1(0)F2(p) или
pF1(p)F2(p)=(pF1(p)-f1(0))F2(p)+f1(0)F2(p)
Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соответствующих оригиналам f1’(t) (f1’(t)÷pF1(p) – f1(0) и f2(t). Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать pF1(p)F2(p)÷f1’(t)*f2(t)+f1(0)f2(t) или
pF1(p)F2(p)÷
÷
По теореме о дифферицировании изображения, если f(t)÷F(p), то оригиналом изображения F’(p) является –tf(t)
Док:
F’(t)=(
)’=
=
÷ -tf(t)
Чтд
По
теореме подобия, если f(t)÷F(p),
то для любого постоянного
>0
изображением оригинала f(
t)
является
Док:
=
=
=
Чтд
Если
f(t)÷F(p)
и g(t)÷
,
то изображением g(t)
является pG(p)
Док: g’(t)÷pG(p)-g(0)=pG(p)
g’(t)=
,
F(p)=pG(p)
Чтд
По
теореме запаздывания, для любого
постоянного
, изображением оригинала f(t
-
)
является
Док: f(t-τ)=0 при t<τ => f(t-τ)=
=
=
Чтд
Если
f(t)
– оригинала, то интеграл
сходится абсолютно для всех значений
комплексной переменной p,
удовлетворяющих условию: Re
p→+∞
(Re
p>Re
a;
Re(p-a)>0;
eat÷
)
Док:
F(p)=
(Re
p
→+∞); |f(t)
|≤c
Чтд
По теореме затухания, если f(t)÷F(p),
то
для любого числа a
изображением оригинала eatf(t)
является
Док:
=
Чтд
По теореме об умножении изображений, если f(t)÷F(p), g(t)÷G(p),
то изображением свертки f(t)*g(t) является F(p)G(p)=
=
Док: f(t)*g(t)=
=
=
=
+
=
=G(p)F(p)
Чтд
Af(t)+Bg(t)÷AF(p)+BG(p)
Док:
=
=
+
Чтд
Т-ма смещения:
Док:
=
Чтд