Вопрос 3. Деление отрезка прямой в заданом отношении

В пространстве точка и прямая относительно друг друга могут занимать два положения: точка лежит на прямой и точка не лежит на прямой.  Если точка С лежит на прямой АВ, то, на основании свойства проекций при параллельном проецировании, её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой и на одной линии связи.  При рассмотрении свойств параллельного проецирования установлено, что отношение отрезков прямой равно отношению их проекций. Для того чтобы разделить отрезок прямой в заданном отношении, достаточно разделить в том же отношении проекции отрезка.  Пусть требуется отрезок АВ разделить точкой С в заданном отношении АС : СВ = 2:1. Обратимся к ортогональному чертежу отрезка АВ.

Например, из первой проекции В1 точки В проведём вспомогательную прямую под произвольным углом. На этой прямой отложим 3 равных отрезка любой длины. Соединим точку А1 и точку 3. Через точку 1 проведём прямую || А13. При пересечении этой прямой с отрезком А1В1 получим искомую точку С1, которая делит первую проекцию отрезка АВ в заданном отношении: А1С1 : С1В1 = 2:1. Так как по свойству проекций точки С1 и С2 должны лежать на одной линии связи, то теперь для того чтобы найти вторую проекцию С2точки С достаточно провести линию связи и найти точку её пересечения с отрезком А2В2. Отметим точку С2, которая удовлетворяет условию А2С2 : С2В2 = 2:1.

 Итак, мы построили на ортогональном чертеже отрезок АВ и отметили точку С, которая делит отрезокАВ в заданном отношении АС : СВ = 2:1. Вопрос 4. Построение натуральной величины углов наклона отрезков прямой способом прямоугольного треугольника

Построение проекций отрезка прямой общего и частного положения позволяет решать не только позиционные задачи (расположение относительно плоскостей проекций), но и метрические – определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций. Но эта задача может быть решена только в случае, если отрезок параллелен или перпендикулярен к одной или нескольким плоскостям. Рассмотрим способ решения такой задачи для отрезка общего положения.

Пусть дан отрезок АВ общего положения относительно плоскостей ₁ и ₂. АВ'В – прямоугольный треугольник (рис. 3.10), в котором катет АВ' = А₁В₁ (проекции отрезка АВ на плоскость₁), а катет ВВ' равен z – разности расстояний точек А и В до плоскости ₁. Угол  в прямоугольном треугольнике АВ'В определяет угол наклона прямой АВ к плоскости ₁.

Рассмотрим треугольник ВА'А (рис. 3.11), где катет ВА' равен проекции А₂В₂ (ВА' = А₂В₂), а второй катет АА' равен  y – разности расстояний точек А и В от плоскости  ₂. Угол   в прямоугольном треугольнике ВАА' определяет угол наклона прямой АВ к плоскости ₂.

Таким образом, натуральная длина отрезка прямой общего положения определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого один катет равен проекции отрезка, а второй катет – алгебраической разности расстояний от концов отрезка до одной из плоскостей проекций.

Рис. 3.10	Рис. 3.11