3.2 Основные понятия и правила теории нечетких множеств

1. Нечеткое множество «С» называется нормальным, если выполняется условие:

Sup _С(х_i) = 1 или = 1, x_i  Х.

Нечеткие множества отличающиеся от нормальных, когда Sup _С(х_i) ≠ 1, приводятся к нормальному виду путем деления каждого значения _С(х_i) на max _С(х_i). В основном нечеткая логика оперирует нормальными нечеткими множествами. Например, если max _С = 0,8, а текущее значение функции принадлежности - _Сi = 0,3, тогда нормальное значение будет равно: _С = .=0,36

Замечание.

1) функция принадлежности _С(х_i) не является вероятностью выполнения поставленной цели, поэтому выполнение условия: =1 совершенно не обязательно (для вероятностей выполняются правила: = 1; 0≤ Р_i ≤ 1;).

2) функции принадлежности могут формироваться как для дискретной случайной величин х_i , так и для непрерывной х_i;

3) нечеткой переменной называется совокупность параметров ( ; Х; С ), где - наименование нечетной переменной; Х={х_i} – область определения нечеткой переменной ; С ={ (х_С); х_i} – нечеткое множество на множестве «Х», описывающие ограничения на возможные значения нечеткой переменной (ее семантику).

Лингвистической переменной называется совокупность (, Т, Х, G, М), где:  - наименование лингвистической переменной; Т – множество ее значений (терм – множество); G – синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая оперировать элементами терм – множества Т в частности генерировать новые осмысленные термы. Множество Т* = ТG (Т) называется расширенным терм - множеством лингвистической переменной; М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную.

Рассмотрим пример формирования лингвистической переменной.

Пусть эксперты оценивают издержки на доставку грузов с помощью понятий: «малые издержки», «средние издержки», «большие издержки», при этом минимальное значение издержек на конкретном направлении для конкретных грузов и альтернативных видов транспорта будут равны: Э_min=10тыс.у.е., а максимальные издержки: Э_max=80 тыс. у.е. Формируем лингвистическую переменную вида (, Т, Х, G, М), где:  - издержки на доставку; Т=(₁; ₂; ₃), ₁ – малые издержки; ₂ – средние издержки; ₃-большие издержки; Х - множество имеющее интервал значений - Х_i: Х=[10; 80] . С₁; С₂; С₃ – нечетные множества, характеризующие понятия «малые издержки», «средние издержки», «большие издержки». G - область определения некоторых новых нечетких переменных, например: издержки, близкие к 20 тыс. руб. или приблизительно равные 75 тыс.руб.; G = G (х_i). Такие лингвистические переменные называются синтаксически независимыми.

Например, если обозначить:  = (75; х; С_), следовательно издержки приблизительно равны 75 тыс. руб.

3.3 Методы определения функции принадлежности нечеткой случайной величины

Функция принадлежности _С (х_i) элемента х_i к нечеткому множеству «С» определяется как субъективная мера того, насколько элемент х_i  Х соответствует понятию, смысл которого отражается нечетким множеством «С». Под субъективной мерой понимается определяемая элементами степень соответствия элемента х_i понятию, формализуемому нечетким множеством «С» (возможность интерпретации х_i понятием, заложенным в нечетком множестве «С»).

Рассмотрим некоторые методы построения функции принадлежности на основе экспертных оценок.

Имеется «m» экспертов. Часть из них на вопрос о принадлежности элемента х_i  Х нечеткому множеству «С» отвечают положительно (n₁ экспертов), другие на этот вопрос отвечают отрицательно: n₂ = m – n₁. тогда функция принадлежности определяется как вероятность дискретной величины: _С (х_i) = .

Возьмем: m = 6 – максимальная оценка. Х = {1; 2; 3; 4; 5} – множество. Требуется сформировать нечеткое множество «С», определяющее нечеткое понятие «немного больше двух». Результаты опроса экспертов приведены в табл.1.

Таблица 1

Исходные данные для определения функции принадлежности

хi	1	2	3	4	5 да нет
n1	0	0	6	4	1
n2	6	6	0	2	5
m	6	6	6	6	6

В результате расчетов по данным табл.1 получим следующие значения функции принадлежности х_i  Х нечеткому множеству «С»: _С (х_i=1) = 0; _С (х_i=2) = 0; _С (3) = 1; _С (4) 0,7;

_С (5)  0,2.

Данный метод дает достаточно точно определение функции принадлежности, являясь самым простым.

Второй метод базируется на основе количественного сравнения степеней принадлежности и допускает использование одного эксперта. Результатом опроса эксперта является построение матрицы M= / m_ij /, где i, j = ; n – число точек, в которых сравниваются значения функции. Число m_ij (элемент матрицы) показывает во сколько раз, по мнению эксперта, _С (х_i) больше _С (х_j). При этом количество вопросов к эксперту составляет не n², а (n² - n) / 2, так как: m_ii = 1; m_ji = 1 /m_ij/ Понятия, которые использует эксперт и их представление значениями m_ij следующие:

Понятие Представление в m_ij

1. _С (х_i) примерно равна _С (х_j) 1

2. _С (х_i) немного больше _С (х_j) 3

Промежуточное: больше, чем немного 4

3. _С (х_i) больше _С (х_j) 5

Промежуточное: существенно, заметно больше 6

4. _С (х_i) заметно больше _С (х_j) 7

Промежуточное: много больше 8

5. _С (х_i) намного больше _С (х_j) 9

Значения функции принадлежности _С (х₁); _С (х₂); … _С (х_n) в точках х₁; х₂; … х_n определяются на основе решения задачи:

М^Т Ф^Т = _max  A ,

где: Ф - вектор длиной (Ф₁; Ф₂; …Ф_n);

_max – максимальный элемент матрицы М^Т;

Т - символ транспонирования.

Матрица М^Т называется транспонированной по отношению к матрице М, если столбцы матрицы М^Т являются строками матрицы М (для этого нужно повернуть матрицу М вокруг главной диагонали на 180⁰). В результате получаем:

или ; (1)

i  j = {1, 2, … n}; значение j выбирается произвольно.

Таким образом, для определения величин _С (х_i) необходимо получить (зафиксировать) произвольно выбранный столбец j матрицы М и вычислить отношения значений элементов m_ij к сумме значений элементов столбца j. Выбор значений столбца j практически не влияет на правильность определения функции принадлежности _С (х_i) – при высокой квалификации эксперта.

Рассмотрим второй пример. Для представления расстояния перевозок между двумя пунктами, отсутствующими в тарифном руководстве 4-Р, применяется лингвистическая переменная «» - расстояние перевозок с множеством базовых значений Т={малое; среднее; большое}. Базовое множество Х={1; 3; 6; 8}. Терм «малое» характеризуется нечеткой переменной {малое, Х, Č}.

Требуется построить функцию принадлежности _с нечеткого множества Č характеризующего терм «малое», т.е. определить _С (х_i); х_i  Х.

Опросом экспертов получена следующая матрица парных сравнений.

c(х_i) 1 3 6 8

1 1 5 6 7

3 1/5 1 4 6

6 1/6 1/4 1 4

8 1/7 1/6 1/4 1

Например, на пересечении первой строки и второго столбца, где х₁=1, а х₂=3стоит цифра 5, т.е. m₁₂ = 5, что означает: _С (1) больше _С (3); на пересечении второй строки и первого столбца стоит m₂₁ = 1/5, т.е. транспонированное значение, так как мы установили, что m_ji = 1/ m_ij. Фиксируем первый столбец матрицы «М». М₁ = {1; 1/5; 1/6; 1/7}, тогда по формуле (1) получаем:

Таким образом, можем записать вид нечеткого множества:

Č={0,66/1; 0,13/3; 0,11/6; 0,09/8}.

Нечеткое терм – множество Č является одновременно и нечетким высказыванием «расстояние малое». При его характеристике можно использовать логистические параметры типа: и; или; если; то, которые базируются на нечетких переменных х_i  Х и х_i  Č.