Задачи на случайные величины / TV i MS_2
.docАлекперов И.А.
Гр. 2351
Вариант 1.
Дано:
-
Вычисление вектора мат. Ожиданий и ковариационных характеристик С.В.
Найдем С. Для этого вычислим
.
Очевидно, что такое интегрирование по
всей прямой для плотности распределения
равно 1, т.е.
,
отсюда получим
.
Найдем вектор мат. ожиданий.
Имеем:
.
Плотность распределения
:
Плотность распределения
:
Отсюда,
-
вектор мат. ожиданий.
Найдем ковариационную матрицу.
1-ый способ. Ковариационная матрица – это матрица, обратная матрице квадратичной формы.
Матрица квадратичной формы:
;
Матрица ковариации:
.
2-ой способ. Найдем первый и четвертый элемент матрицы ковариации – это дисперсии величин x и y соответственно.
,
Остается найти второй и третий члены
матрицы. Они, как известно, равны между
собой и вычисляются по формуле:
.
Найдем
.
Тогда второй и третий элементы будут
равны:
.
Имеем матрицу ковариации:
,
что полностью совпало с вычисленным
первым способом.
3. Найти ортогональное преобразование,
переводящее соответствующий центрированный
случайный вектор в вектор с независимыми
компонентами.
Нам нужно найти
преобразование, приводящее нашу плотность
к виду:
.
Найдем преобразование.
Имеем: матрицу квадратичной формы:
,
найдем для нее собственные числа и
вектора:
- нашли собственные числа матрицы. Легко
найти собственные вектора для двух
собственных чисел, получаем:
- с.в. для
и
соответственно.
Тогда, ортогональная матрица перехода
будет иметь вид:
,
.
Произведем замену координат в нашей
квадратичной форме
по правилу:
,
где
и
- новые координаты. Получим:
.
Производим следующую замену:
,
где
- вектор мат. ожиданий. Получим:
.
Производим последнюю замену:
.
Тогда
,
что удовлетворяет стандартному
распределению.
Сосчитаем якобиан для :
Где
,
и
-
с.ч. для M,
.
.
Запишем новую плотность:
,
как видно, данный вектор имеет независимые
компоненты:
.
4. Вычислить характеристики совместного
распределения с.в.
и
записать его плотность.
Найдем мат. ожидания, используя свойство линейности м.о.
Пусть
,
тогда
,
.
Найдем дисперсии зависимых величин.
Имеем:
.
Тогда, используя формулу выше, имеем:
Из ранее найденного имеем:
Тогда можно вычислить
.
Аналогично, имеем для дисперсии Y:
.
Найдем матрицу ковариации:
,
.
Отсюда, матрица ковариации в явном виде:
.
Запишем плотность распределения случайного вектора.
где
.
Подставив все значения, получим:
.
Для проверки распределения составим
матрицу квадратичной формы
,
Возведем ее в (-1)-ую степень
,
получили матрицу ковариации, что
показывает верность наших расчетов.