Санкт-Петербургский Государственный

Электротехнический Университет «лэти»

Дисциплина: «Теория случайных процессов»

Отчет

По лабораторной работе № 1

«Моделирование и расчет характеристик марковских СМО»

Вариант №5

Санкт-Петербург

2007 г.

1. Задание на лабораторную работу

Исходные данные:

а) M|M|1, λ=1, μ=4;

б) M|M|1|2, λ=1, μ=2;

в) M|M|3|2|4; λ=2, μ=3 .

Для 3-х заданных СМО:

1. Составить диаграммы интенсивностей переходов.

2. Сформировать матрицы интенсивностей переходов Λ.

3. Составить дифференциальные уравнения для вероятностей состояний.

4. Составить уравнения для предельных вероятностей состояний.

5. Рассчитать предельные вероятности состояний по формулам.

6. Рассчитать основные предельные характеристики СМО: p_ожид , q, q_s Q, T, W по формулам.

7. Смоделировать цепь Маркова, описывающую CMO. Вычислить эмпирические вероятности состояний и оценки величин q, q_s , Q.

8. Смоделировать динамику вероятностей состояний. Построить графики вероятностей состояний и величин q(t), q_s (t), Q(t). Рассчитать предельные характеристики п. 5 на компьютере.

9. Определить предельные вероятности состояний и характеристики СМО путем моделирования. Оценить время, через которое система выходит на предельные характеристики (с точностью порядка 1%).

10. Сформулировать выводы по работе (соответствие результатов расчетов по формулам, на компьютере и на основе моделирования).

Примечание. Для моделирования СМО с n=∞ провести моделирование с различными значениями n и выбрать такое n, при котором результаты стабилизируются.

Решение

а)

M|M|1, λ=1, μ=4.

Данная система является открытой.

Диаграмма интенсивности перехода имеет вид:

λ

λ

λ

λ

Матрица интенсивностей переходов Λ:

Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний:

Уравнения для предельных вероятностей состояний имеют вид:

По формулам

рассчитаем предельные вероятности состояний. В итоге получаем:

По формулам рассчитаем основные предельные характеристики СМО: p_ожид , q, q_s Q, T, W.

В итоге получаем:

Программа

clc;clear;

K=10;

h=0.1;

for i=1:K-1

la(i)=1;

mu(i)=4;

P0(i)=0; %Вектор начальных вероятностей при t=0

end

P0(1)=1;

P0(K)=0;

d=[la,0]+[0,mu];

LA=-diag(d)+diag(la,1)+diag(mu,-1); %Матрица интенсивностей переходов

n=length(P0);

N=500;

t=h*(1:N);

th=length(t);

P=expm(LA*h); %Матрица переходов за 1 шаг

A=P-eye(n);

%A=LA;

A(:,n)=ones(n,1);

b=[zeros(1,n-1),1];

ps=b/A;

C(1)=1;

for i=2:K

C(i)=(la(i-1)/mu(i-1))*C(i-1);

end

po_formulam=C/sum(C) %расчет пред. вер-тей по формулам

H0(1)=P0(1);

H(:,1)=P(:,1);

for i=2:n

H0(i)=H0(i-1)+P0(i);

H(:,i)=H(:,i-1)+P(:,i);

end

Q=H0;

h1=th; %Подсчет числа шагов

%m=[0 0 0 0];

for k=1:h1

u=rand(1);

i=1;

while u>Q(i)

i=i+1;

end

X(k)=i; %Число заявок на момент t

% m(i)=m(i)+1;

Q=H(i,:);

end

%m./h1

plot(t,X,'*');

%figure

for k=1:h1

q(k)=X(k)-1;

qs(k)=X(k)-q(k);

Q(k)=X(k);

end

plot(t,q,t,qs,t,Q)

%Рассчет эмпирических вероятностей

% q_sr - среднее число заявок, наход. в очереди на момент времени t

% qs_sr - среднее число заявок на обслуживании

p(1,:)=P0;

for i=2:h1

p(i,:)=p(i-1,:)*P;

for j=1:K-1

temp(j)=(j-1)*p(i,j+1);

g=p(i,2:K);

end

q_sr(i)=sum(temp);

qs_sr(i)=sum(g)*1;

end

figure

plot(p),grid

figure

plot(q_sr,'.'),grid

figure

plot(qs_sr,'.'),grid

p_emper=p(h1,:) %расчет пред. вер-тей эмперически

q_emper=q_sr(h1)

qs_emper=qs_sr(h1)

Вывод:

Предельные значения довольно близки к теоретическим значениям (c погрешностью < 1%). Достаточно высокая точность обеспечивается правильно выбранной размерностью системы.

В данной СМО большая часть заявок (1/4 от общего количества) находится в очереди. Для разгрузки системы необходимо увеличить количество приборов.

б)

M|M|1|2, λ=1, μ=2.

Данная система является системой с отказами.

Диаграмма интенсивности перехода имеет вид:

λ

λ

λ

μ

μ

μ

Матрица интенсивностей переходов Λ:

Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний:

Уравнения для предельных вероятностей состояний имеют вид:

По формулам

рассчитаем предельные вероятности состояний. В итоге получаем:

По формулам рассчитаем основные предельные характеристики СМО: p_ожид , q, q_s Q, T, W.

В итоге получаем: