Методические указания по теории вероятностей / 2008-04-16-08-34-я- указания
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Составитель: М.П.Королева
Иваново 2003
Составитель: Королева М.П.
Методические указания составлены для студентов специальности 200400 «Промышленная электроника». Они ставят своей целью оказание помощи студентам, изучающим теорию вероятностей. Методические указания содержат следующие разделы: классическое определение вероятности и ее свойства, дискретные и непрерывные случайные величины. В тексте приводятся наиболее часто встречающиеся утверждения и формулы, разобрано большое количество задач.
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1. |
Некоторые формулы комбинаторики |
4 |
2. |
Случайные события. Классическое определение вероятности |
4 |
3.Относительная частота события. Статистическое определение ве-
|
роятности |
7 |
4. |
Сложение вероятностей |
7 |
5. |
Умножение вероятностей независимых событий |
9 |
6.Зависимые события. Условная вероятность. Формула полной ве-
|
роятности |
11 |
7. |
Формула Байеса |
13 |
8. |
Формула Бернулли |
14 |
9. |
Формула Пуассона |
15 |
10. |
Случайные величины |
17 |
11. |
Закон распределения дискретной случайной величины |
17 |
12. |
Числовые характеристики дискретной случайной величины |
18 |
13. |
Биномиальный закон распределения дискретной случайной вели- |
|
|
чины |
20 |
14. |
Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины |
21 |
15. |
Функция распределения непрерывной случайной величины. Плот- |
|
ность распределения |
21 |
|
16. |
Числовые характеристики непрерывной случайной величины |
23 |
17. |
Закон равномерного распределения вероятностей непрерывной |
|
|
случайной величины |
25 |
18. |
Числовые характеристики равномерного распределения |
26 |
19. |
Нормальный закон распределения непрерывной случайной вели- |
27 |
|
чины |
|
20. |
Числовые характеристики нормального распределения |
27 |
21. |
Функция Лапласа. Функция распределения случайной величины Х, |
|
|
имеющей нормальное распределение |
28 |
22. |
Вероятность попадания случайной величины Х, имеющей нор- |
29 |
|
мальное распределение, в заданный интервал |
|
23. |
Литература |
31 |
|
Некоторые формулы комбинаторики |
Рассмотрим |
некоторое множество Х, состоящее из n элементов |
X = {x1 , x2 ,..., xn }. |
Будем выбирать из этого множества различные упорядо- |
ченные подмножества У из k элементов. Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор
(xi1 , xi2 ,..., xik )элементов множества Х.
Если выбор элементов множества У из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле nk.
Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k
обозначается |
Ak |
и определяется равенством |
Ak |
= n(n −1)...(n − k +1) . |
|
n |
|
n |
|
Например. Пусть даны пять цифр: 1; 2; 3; 4; 5. Определим сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет m = nk = 53 =125 .
Если цифры не повторяются, то m = A53 = 5 4 3 = 60 .
Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно Ann = n!.
Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество У, т.е. два подмножества У1 и У2 из k элементов, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся их порядком будем считать одинаковыми. Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается Cnk и равно
k |
|
Ank |
|
n! |
|
n(n −1)...(n − k +1) |
|
||
Cn |
= |
|
= |
|
|
= |
|
. |
|
k! |
(n − k)!k! |
k! |
|||||||
|
|
|
|
|
В дальнейшем будем считать Cn0 =1.
Заметим, что справедливо равенство Cnk = Cnn−k .
Например. В группе из 27 человек нужно выбрать трех делегатов на профсоюзную конференцию. Найдем сколькими способами это можно сделать
m = C273 = |
27 26 25 |
= 2925 . |
|
3! |
|
||
|
|
|
Случайные события. Классическое определение вероятности
Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например,
попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.
Рассмотрим виды событий.
Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.
Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.
Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Будем говорить, что случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.
Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть случаями. Событие такой группы называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет появление А.
Например, в урне находится 8 шаров, на каждом из которых поставлено по одной цифре от 1 до 8. Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (2 или 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара.
Вероятностью р события А называется отношение числа m благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев n, образующих полную группу равновозможных несовместных событий
P( A) = p = mn .
Заметим, что вероятность достоверного события р=1. Вероятность невозможного события р=0. Кроме того из определения вероятности следует, что для любого события А
0 ≤ P( A) ≤1.
Примеры. 1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?
Пусть событие А – номер вынутого шара не превосходит 10. Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1.
2.В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?
Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0.
3.Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?
Здесь всего случаев n=36. Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следова-
тельно, P( A) = 369 = 14 .
4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах?
Составим схему возможных случаев.
|
Первая монета |
Вторая монета |
1 случай |
герб |
герб |
2 случай |
герб |
не герб |
3 случай |
не герб |
герб |
4 случай |
не герб |
не герб |
Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1. Следовательно, р=1/4.
5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?
Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: n = C102 = 102 9 = 45. Число случаев, когда среди этих двух шаров будут оба
белые, равно m = C62 =15. Искомая вероятность будет p = mn = 1545 = 13 .
6. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.
Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми мож-
но отобрать 7 человек из 10, т.е. n = C107 = C103 .
Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех C43 способами; при этом ос-
тальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать C64
способами. Следовательно, число |
|
благоприятствующих исходов равно |
|||||||||
C43C64 = C41C62 . |
|
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
|
|
C41C62 |
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|||
Искомая вероятность p = |
= |
|
|
2 |
|
= |
. |
||||
C103 |
|
10 9 8 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
2 3
7. Пять книг расставляются на полку. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.
Число всех способов, которыми можно расставить на полке пять книг, равно числу перестановок из пяти элементов n = A55 = 5!.
Подсчитаем число благоприятствующих случаев. Две определенные книги можно поставить рядом 2!=2 способами. Оставшиеся книги можно расположить на полке 4 3! способами. Поэтому m = 2 4 3!.
Итак, p = 2 54! 3! = 0,4 .
Относительная частота события. Статистическое определение вероятности
Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются.
Относительной частотой р* случайного события А называется отношение числа m* появления данного события к общему числу n* проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие.
P* ( A) = p* = m* . n*
Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях.
При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней:
P( A) = lim P* ( A) .
n*→∞
Сложение вероятностей
Суммой двух событий А и B называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Сумма обозначается: С=А+В=АилиВ.
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Р(АилиВ)=Р(А)+Р(В).
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа слагаемых:
n |
|
n |
P ∑Ai |
= ∑P( Ai ) . |
|
i=1 |
|
i =1 |
Два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу. Если событие обозначим через А, то противоположное ему – через A .
Так как при испытании обязательно произойдет или событие А или событие A , то согласно теореме о сложении вероятностей получаем
P( A) + P( A) =1.
Если случайные события А1, А2,…, Аn образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство
P( A1 ) + P( A2 ) +... + P( An ) =1.
Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события. Событие, заключающееся в совмещении событий А и B, будем обозначать АиВ или АВ.
Теорема. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) .
Примеры. 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или черный; б) белый, черный или синий.
Обозначим следующие события: Б – вынули белый шар, P(Б) = 1070 ;
Ч – вынули черный шар, P(Ч) = 1570 ;
С – вынули синий шар, P(C) = 7020 ;
К – вынули красный шар, P(K) = 7025 .
Тогда искомые вероятности будут:
а) P(C +Ч) = P(C) + P(Ч) = 7020 + 1570 = 12 .
б) P(Б +Ч + C) = P(Б) + P(Ч) + P(C) = 1070 + 1570 + 7020 = 149 или P(Б +Ч +C) =1 − P(K) =1 − 7025 = 149 .
2. На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.
Рассмотрим два способа решения задачи.
Первый способ. Пусть события А – хотя бы один учебник в переплете; В – один из взятых учебников в переплете, два – без переплета; С – два в переплете, один без переплета;
D – все три учебника в переплете.
Очевидно, А=В+С+D. Найдем вероятности событий В, С, и D.
P(B) = |
C51C102 |
= |
45 |
, P(C) = |
C52 C101 |
= |
20 |
, |
P(D) = |
C53 |
= |
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C153 |
91 |
C153 |
91 |
C153 |
91 |
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
|
|
|
|
|
||
|
|
P( A) = P(B) + P(C) + P(D) = |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
Второй способ. Вновь А – хотя бы один учебник в переплете; A - ни один из взятых учебников не имеет переплета.
Так как события А и A противоположные, то
|
|
|
C103 |
|
24 |
|
67 |
|
|
P( A) =1 − P( A) =1 − |
=1 − |
= |
. |
||||||
C153 |
91 |
91 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Умножение вероятностей независимых событий
Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.
Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий
Р(АВ)=Р(А)·Р(В).
Заметим, что теорему о вероятности суммы совместных событий можно записать теперь в виде:
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( A) P(B) .
Примеры. 1. В первом ящике 2 белых и 7 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
P( A) = 16 ;
A- вынули черный шар из первого ящика, P( A) = 65 ;
В– белый шар из второго ящика, P(B) = 23 ;
|
|
- черный шар из второго ящика, |
P( |
|
) = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|||||||||
Нам нужно, чтобы произошло одно из событий AB |
AB . По теореме |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
, P( |
|
|
10 |
|
. Тогда искомая веро- |
|||||||||||
об умножении вероятностей P( AB |
) = |
AB) = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
18 |
|
||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ятность по теореме сложения будет
P= P( AB + AB) = P( AB) + P( AB) = 1811 .
2.Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.
Пусть А – попадание первого стрелка, Р(А)=0,8; В – попадание второго стрелка, Р(В)=0,9.
Тогда A - промах первого, P( A) =1 −0,8 = 0,2 ;
B - промах второго, P(B) =1 −0,9 = 0,1. Найдем нужные вероятности.
а) АВ – двойное попадание, Р(АВ)=Р(А)Р(В)=0,72. б) A B - двойной промах, P( AB) = P( A)P(B) = 0,02 . в) А+В – хотя бы одно попадание,
P( A + B) = P( A) + P(B) − P( AB) = 0,8 +0,9 −0,72 = 0,98 .
г) AB + AB - одно попадание,
P( AB + AB) = P( AB) + P( AB) = 0,8 0,1 +0,2 0,9 = 0,26 .
3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.
А – формула содержится в первом справочнике; В – формула содержится во втором справочнике; С – формула содержится в третьем справочнике.
Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей. 1. P( ABC + ABC + ABC) = P( ABC) + P( ABC) + P( ABC) =
=0,6·0,3·0,2+0,4·0,7·0,2+0,4·0,3·0,8=0,188.
2. P( ABC + ABC + ABC) = 0,6 0,7 0,2 +0,6 0,3 0,8 +0,4 0,7 0,8 = 0,452 . 3.З(АВС)=0,6·0,7·0,8=0,336.
4. Из 10 деталей 7 – стандартные. Наудачу берут 6 деталей. Найти вероятность того, что среди них: а) не более одной нестандартной; б) не более двух нестандартных.
а) Обозначим события А – среди взятых 6 деталей нестандартных нет; В – в 6 выбранных деталях одна нестандартная. Тогда А+В – среди 6 де-
талей не более одной нестандартной. Найдем Р(А+В). Заметим, что
|
|
P( A) |
= |
|
C76 |
|
= |
|
C71 |
= |
|
|
|
7 2 3 4 |
= |
1 |
, |
|
|
|||||||||||||||
C106 |
C104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 9 8 7 30 |
|
|
|||||||||||||||||||
P(B) = |
C31C75 |
= |
|
C31C72 |
|
= |
|
|
|
3 7 6 2 3 4 |
= |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C 6 |
|
|
|
|
|
|
2 10 9 8 7 10 |
||||||||||||||||||||||
Откуда |
10 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
P( A + B) = |
|
|
|
+ |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) Пусть теперь событие А – в шести взятых деталях не более двух не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
стандартных. Тогда |
A |
- в выбранных деталях более двух нестандартных, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
три. |
|
C331C73 |
|
|
7 6 5 2 3 4 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
P( |
|
) |
= |
|
= |
= |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C 6 |
|
|
|
|
2 3 10 9 8 7 6 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|