Глава 13. Задачи оптимального проектирования в сапр технологического назначения.

Под оптимальным понимают такое проектирование, цель которого состоит в создании технологического процесса, не только выполняющего заданные функции, но и отвечающие некоторым заранее установленным критериям качества.

Проблема оптимального проектирования не нова. Человек всегда стремился к созданию лучших в определенном смысле машин и процессов. Однако только в последние несколько десятилетий, в условиях осознания человек ограниченности, имеющихся у него в распоряжении ресурсов, и резкого обострения стремлений к созданию наилучших вариантов изделий и процессов их материализации – проблема оптимального проектирования была чрезвычайно актуальной.

Анализ современного состояния проблемы оптимального проектирования позволяет выявить следующие уровни ее решений.

Первому уровню соответствует решение задачи нахождения лучшего варианта технологического процесса, основанные на переборе нескольких рассчитанных вручную вариантов, т.е. без использования средств вычислительной техники, математических моделей и соответствующих методов оптимизации. Например, при проектировании технологического процесса для двух-трех вариантов базирования изделия можно выполнить необходимые расчеты, для каждого варианта оценить какой-либо критерий качества (точность, трудоемкость и др.), и затем выбрать наиболее подходящий вариант процесса.

На втором уровне формулировка задач оптимального проектирования находит свое отражение в математических моделях. Задачи решают с применением соответствующих методов оптимизации, реализуемых вручную, то есть без применения средств вычислительной техники. Для этого уровня характерны несложные модели и методы оптимизации, что снижает качество получаемых решений.

К третьему уровню относятся задачи оптимального проектирования, сформулированные в виде математических моделей и решаемые с применением соответствующих математических методов оптимизации и на базе ЭВМ. Здесь используются более сложные математические модели и более точные методы оптимизации, что позволяет получать решения наиболее близкие к оптимальным.

К четвертому уровню отнесены задачи оптимального проектирования, решаемые в рамках САПР.

Решения проблемы оптимального проектирования в условиях САПР может быть связано с рядом трудностей, обусловленных тем, что в процессе автоматизированного проектирования могут быть получены варианты технологического решения, для которых не предусмотрены соответствующие математические модели оптимизации. Следовательно, возникает задача обеспечения оперативного формирования математических моделей. Для этого необходимо создание специального проблемного языка и соответствующего программного обеспечения, реализующих диалоговое построение моделей проектирования и выборы методов их решений.

§1. Математические модели оптимального проектирования.

Математические модели оптимального проектирования технологического процесса представляют собой формализованное описание критерия качества, условий, обеспечивающих выполнение заданных функций процесс-сом, требований, предъявляемым к отдельным параметрам процесса и др.

Именно в формировании математической модели заключается постановка задачи оптимального проектирования технологического процесса, которой предшествует определение цели и соответствующего критерия оптимизации. Например, при проектировании технологического процесса цели оптимизации могут состоять в обеспечении его минимальной трудоемкости, максимальной производительности, минимальной технологической себестоимости и др. Каждой их перечисленных целей оптимального проектирования соответствует свой критерий оптимальности (трудоемкость, производительность, технологическая себестоимость и др.). Критерии оптимальности выражают целевыми функциями Q(х), представляющие собой математические зависимости их значений от параметров проектируемого технологического процесса.

Цели оптимизации могут иметь и более сложный характер, когда число показателей качества проектируемого технологического процесса (критериев оптимальности) более одного. В реальных условиях оптимизационной задачи часто носит многокритериальный характер.

На первом этапе разработки математической модели оптимального проектирования выявляют параметры процесса, влияющие на критерий (критерии) оптимальности последнего (последних) от этих параметров. Далее определяют параметрические, дискретизирующие и функциональные ограничения, накладываемые на параметры технологического процесса, для обеспечения выполнения им заданных функций.

Если всей совокупности параметров технологического процесса поставить соответствие некоторые n-мерное декартовое пространство проектирования Rⁿ , то оно будет состоять их двух частей – подпространство реальных процессов (допустимого подпространства проектирования D) и подпространство нереальных процессов. При этом подпространство реальных процессов образуется точками, координаты которых соответствуют значению параметров технологического процесса, удовлетворяющим указанным выше параметрическим, дискретизирующим и функциональным ограничениям.

Параметрическим называют ограничение M1 вида

x`_i ≤ x_i ≤ x``_i (1)

где x_i - i-тый параметр технологического процесса, x`_i и x``_i - соответственно минимально и максимально допустимые значения i-того параметра.

Совокупность ограничений (1) образует n-мерный параллелепипед в пространстве проектирования Rⁿ .

Дискретизирующие ограничения М₂ имеет вид

x_j = { x_j1, x_j2,...., x_jm } (2)

где x_j – j-тый параметр технического объекта, x_jk –допустимые дискретные значения j-того параметра ( k=1,2,...,m)

Ограничениями (2) n-мерный параллелепипед, образованный ограничениями (1), разрывается, и подпространство реальных процессов размерности n переходит в совокупность подпространств размерности n-m. Так, если n=3, а m=1, то подпространство реальных процессов, представляющие собой трехмерный параллелепипед, переходит в совокупность его плоских сечений в точках множества (2).

Ограничения вида (2) накладывают на значения параметров либо в связи с их физической сущностью (например, параметр «число инструментов» в наладке может принимать только целые значения в некотором интервале), либо в связи с требованиями ГОСТов, ОСТов и др.

Функциональные ограничения M₃, накладываемые на параметры процессов, представляет собой условия связи их значений. Эти ограничения имеют вид

g_i (x)≤ 0; g_j (x)=0; g_k (x) <0. (3)

Функциональные ограничения еще более уменьшают объем допустимого подпространства проектирования и усложняют его форму. Функциональными ограничениями при оптимальном проектировании технологических процессов могут быть условия: прочности, жесткости, точности, герметичности, и др. эти условия обеспечивают желаемые значения тех или иных технических характеристик и экономических показателей.

Таким образом, допустимое подпространство проектирования D представляет собой множество точек, удовлетворяющих ограничениям (1) -(3).

Определение ограничений (1)-(3) является чрезвычайно ответ­ственным этапом в процессе постановки и решения задач оптимально­го проектирования. Неучет каких-либо ограничений может привести к таким нежелательным эффектам, как невозможность реализации технологического процесса или низкий уровень технико-экономических и других показателей процесса. Вместе с тем, избыточные ограничения повышают сложность модели, используемых алгоритмов и методов решения задач, а также увеличивают затраты машинного времени.

Важное значение при постановке задач оптимального проектиро­вания: имеет анализ совместимости параметрических, дискретизирую­щих и функциональных ограничений. При этом если окажется, что

D={x│M₁, M₂ , M₃ }=Ǿ,

т.е. допустимое подпространство проектирования является пустым множеством, то следует пересмотреть ограничения (1) - (3) и выяс­нить противоречащие. Поиск оптимальных решений возможен, если D содержит хотя бы две точки. Указанный анализ можно выполнить про­веркой выполнения ограничений на реальном процессе или зондирова­нием подпространства D на ЭВМ.

Таким образом, задачу оптимального проектирования формулиру­ют следующим образом. Найти такое x*Є D, для которого Q (х*)=min Q(x ), xЄ D

Найденное в результате решения задачи х* называется оптимальным решением, а Q (х*) оптимальным значением критерия оптимальнос­ти.

Сложнее формулировать многокритериальные задачи оптимального проектирования, в которых требуется определить такое значение век­тора параметров x*Є D, которое обеспечивало бы минимум одновре­менно по всем критериям оптимальности. При этом среди последних обычно есть и противоречивые, оптимизация по каждому из которых в отдельности приводит к разным значениям x*. В этих случаях, за­дача состоит в определении некоторого компромиссного решения, для чего критерии оптимальности объединяют в один - обобщенный критерий.

Известно множество способов построения обобщенных критериев. Среди них наиболее часто используют метод взвешенных сумм, согласно которому обобщенный критерий

Q(x)=∑ λ_i Q_i(x),

где Q_i(x), - i -й критерий оптимальности; λ_i – весовой коэффици­ент.

Значения весового коэффициента устанавливают исходя из степе­ни важности того или иного критерия на основе опыта, интуиции или метода экспертных оценок. Наличие элемента субъективизма в опреде­лении λ_i - недостаток рассматриваемого метода. Известен и такой подход, когда задачу решают для нескольких сочетаний весовых коэф­фициентов, а затем выбирают наиболее подходящее решение.

Метод взвешенных сумм наиболее удобен для критериев оптимальности, измеряемых в одинаковых единицах или в относительных величинах.

Для равноценных критериев оптимальности обобщенный вектор можно построить в виде суммы

Q(x)=∑ {[Q_i(x)- Q*_i (x)]/ Q*_i(x)}

где Q_i(x) - i -й критерий оптимальности; Q*_i(x), - оптимальное значение i-того критерия, найденное при решении задачи с целевой функцией Q₀(x)= Q_i(x)

Если построение обобщенного критерия оптимальности невозмож­но или нецелесообразно, то используют способы оптимизации главно­го из многих критериев или последовательной оптимизации всех критериев. В первом случае по тем или иным соображениям выбирают наиболее важный критерий и оптимизацию выполняют по нему. Остальные критерии учитывают в виде ограничений на их значения. При последовательной оптимизации всех критериев поступают следующим образом. Сначала устанавливают последовательность оптимизации критериев. Затем решают задачу оптимизации с одним первым критерием и находят его оптимальное значение Q*₁ . После этого решают задачу оптимизации по второму критерию, но при этом в модель вводят допол­нительное ограничение

Q₁(x)= Q*₁ +δ₁

где δ₁ - уступка по первому критерию.

Аналогично решают задачи оптимизации по остальным критериям с добавлением на каждом шаге в модель ограничений по предыдущим критериям. Таким образом, полученное в итоге оптимальное реше­ние x* во многом определяется значениями компонент вектора усту­пок δ₁ .

Для определения их наилучших значений можно решать задачу оптимизации по критерию

T(x)=min max (Q_i(x)- Q*_i - δ₁ )

После решения задачи многокритериальной оптимизации исследователю предстоит на основе интуиции и опыта оценить полученные ре­зультаты. При этом мажет оказаться необходимым повторить решение задачи с другим обобщенным критерием или при других значениях ве­совых коэффициентов, вектора уступок и т.д. В этих условиях особое значение приобретают системы диалогового взаимодействия чело­века с ЭВМ в процессе решения задач многокритериальной оптимиза­ции.

После построения математической модели оптимального проекти­рования в первом приближении встает задача ее анализа, к целям ко­торого относятся: выявление выпуклости, вогнутости, унимодальнос­ти (наличия у целевой функции одной точки экстремума и ее совпа­дение с глобальным экстремумом), многоэкстремальности (наличие у целевой функции нескольких локальных экстремумов), исследование совместимости ограничений; исследование допустимого подпростран­ства проектирования, образуемого ограничениями; выявление адекват­ности модели проектируемому процессу.

Результаты анализа математической модели имеют важное значе­ние для правильного выбора необходимых при решении задачи матема­тических методов оптимизации.