8.3. Матричные операции в ms Excel

Любому специалисту в ходе практической деятельности приходится совершать операции над количественными данными, которые осуществляются в соответствии с математическими законами. Потому для специалиста-нематематика наиболее важным является практический аспект математики. Для него эта прикладная наука, близкая к технологии. Здесь наиболее важным является умение провести необходимые вычисления. Математическая теория изменяется сравнительно медленно. Использование компьютера при проведении расчётов сдвигает акценты в математической подготовке специалиста. Если раньше основное внимание было сосредоточено на математических методах, которые предусматривали проведение расчётов вручную, то теперь, с появлением специализированных математических программ, необходимо научиться проводить требуемые вычисления на компьютере.

Средства MS Excel очень полезны в линейной алгебре, прежде всего для осуществления операций с матрицами и решения систем линейных уравнений.

Значительная часть математических моделей различных объектов и процессов записывается в достаточно простой и компактной матричной форме.

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причём в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими. Способов вычислений существует также несколько. Например, вычисления с помощью MS Excel.

Одной из операций является операция транспонирования. Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот. Данная функция будет иметь вид ТРАНСП (массив). Здесь массив – это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т.д.

Одной из важных характеристик квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы – это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. В MS Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД. Функция имеет вид МОПРЕД (массив). В этом случае массив – это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например А1:С3; или как массив констант, например, (1;2;3;4;5;6;7;8;9). Для массива А1:С3, состоящего из трёх строк и трёх столбцов (матрица размером 3*3), определитель вычисляется следующим образом:

 

В MS Excel с матрицами можно работать как с диапазоном ячеек. Диапазон – это совокупность смежных ячеек, образующих прямоугольную область таблицы, заданную адресами левой верхней и нижней правой ячеек области. При указании диапазона принята форма записи, в которой эти адреса указываются через двоеточие.

Например,

B2:D4 – это диапазон из девяти ячеек B2, B3, B4, C2, C3, C4, D2, D3, D4 (матрица размера 3х3);

B2:B5 - это диапазон из четырех ячеек B2, B3, B4, B5 (вектор- столбец);

B2:E2 - это диапазон из четырех ячеек B2, C2, D2, E2 (вектор-строка).

В MS Excel возможно использование формул, результатом которых является не одно число, а диапазон чисел – это так называемые (в документации по программе) формулы массива.

Для ввода таки формул необходимо выполнить следующие действия:

1. Выделить ячейки, в которые должен быть помещен результат выполнения формулы.

2. Ввести формулу массива (начиная со знака "=")

3. нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter для завершения ввода (для этого нажимаются и удерживаются клавиши Ctrl+Shift и затем кратковременно нажимается клавиша Enter).

Введенные формулы массива отображаются в строке формул в фигурных скобках.

Для изменения (или удаления) введенной ранее формулы массива необходимо предварительно выделить весь диапазон ячеек этой формулы, а затем выполнить желаемое действие. Часть ячеек формулы массива изменить нельзя.

Операции с векторами и матрицами.

1. Результат сложения (вычитания) матриц (векторов) одинакового размера n x m (A) и (B) (число столбцов и строк матриц должны совпадать) есть матрица (C) размера n x m, каждый элемент которой равен сумме (или разности) соответствующих элементов матиц (A) и (B) . Ниже приведен рабочий лист сложения двух векторов-столбцов, заданных в ячейках A2:A5 и C2:C5, суммарный вектор получается в ячейках E2:E5.

Скалярное произведение двух векторов.

Скалярным произведением двух векторов одинаковой длины n называется сумма парных произведений соответствующих компонентов вектора.

Для этой операции можно использовать встроенную функцию СУММПРОИЗВ. У этой функции два параметра, отделяемые точкой запятой. Так как результат вычислений – это одно число, то формула вводится в одну ячейку.

Матричное произведение

Произведением матриц (A) размером n x m и (B) размером m x l называется матрица (C) размером n x l , такая что элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца c_ij равен скалярному произведению i-ой строки матрицы (A) и j-ого столбца матрицы (B).

На рисунке ниже приведено матричное умножение матрицы размера (3x3) на вектор-столбец (3х1). Результат – вектор-столбец размером(3х1).

В MS Excel для матричного умножения исполдьзуется встроенная функция МУМНОЖ. У нее два параметра, соответствующих двум диапазонам, содержащим перемножаемые матрицы. Результат функции - это матрица, поэтому вводиться она должна в диапазон ячеек как функция массива.

Обращение матрицы

Матрицей, обратной матрице (А) размера (n x n) называется такая матрица (А)^-1 размера (n x n), что при перемножении этих матриц в любом порядке получается единичная диагональная матрица:

,

здесь (1) – это единичная диагональная матрица размера (n x n) – все элементы которой равны 0, за исключением диагональных, которые равны 1.

Нахождение обратной матрицы выполняет встроенная функция МОБР. У нее единственный аргумент, который является квадратным диапазоном, содержащим обращаемую матрицу. Функция возвращает матрицу, равную по размеру обращаемой матрице, поэтому должна вводится как функция массива.

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы выполняет встроенная функция МОПРЕД. У нее единственный параметр - это диапазон, содержащий матрицу, определитель которой надо найти. Например, формула =МОПРЕД(B2:D4) вычисляет определитель матрицы размера 3 x 3, записанной в диапазоне B2:D4