Работа 12. СИНТЕЗ МНОГОЗВЕННОГО АКТИВНОГО RC-ФИЛЬТРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИК

Цель работы заключается в синтезе многозвенного полосового фильтра (ПФ) по заданным границам областей пропускания и задерживания амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и экспериментальной проверке формы АЧХ [7].

12.1. Основные расчетные соотношения

На рис. 12.1 показана АЧХ ПФ. Исходными данными, определяющими качество формы АЧХ, обычно являются следующие параметры: ω_-1, ω₁ — граничные частоты полосы пропускания; ω_-2, ω₂ — граничные частоты полос задерживания; ω₀ = √ω_-1, ω₁ — центральная частота; Δ = 1 — |H(jω_-1)| = 1 — |H(jω₁)| —неравномерность АЧХ в полосе прозрачности; |H(jω_-2)| = |H(jω₂)| — затухание модуля в полосе задерживания.

Синтез фильтра при таком задании формы АЧХ проводится в два этапа. Первым этапом является аппроксимация, которая заключается в получении передаточной функции фильтра, удовлетворяющей заданной АЧХ. Второй этап — реализация фильтра, т. е. построение схемы фильтpa и расчет ее элементов, удовлетворяющие передаточной функции и дополнительным критериям синтеза.

Рис. 12.1

Построение ПФ может осуществляться двумя способами. При первом способе ПФ состоит из последовательно включенных фильтров верхних и нижних частот, граничные частоты которых являются граничными частотами ПФ.

Применение данного способа целесообразно в тех случаях, когда ПФ имеет достаточно широкую полосу пропускания, соизмеримую с ω₀. Второй способ, положенный в основу настоящей работы, заключается в составлении ПФ из звеньев ПФ второго порядка, имеющих передаточные функции вида

H(p) = K_u (p/ω₀ ) / (p²/ ω₀² + p/Q ω₀ +1), (12.1)

где ω₀ — центральная частота; Q — добротность; K_u — коэффициент усиления напряжения (рис. 12.2). При последовательном включении звеньев, имеющих расстройку по частоте ω₀, достигается увеличение прямоугольности результирующей АЧХ фильтра (рис. 12.3).

Рис. 12.2 Рис. 12.3

Такой способ построения ПФ эффективнее при необходимости получения относительно узкой полосы пропускания. Аппроксимация при указанном способе построения ПФ проводится с помощью низкочастотного прототипа.

12.1.1. Аппроксимация

Этап аппроксимации является чисто математической процедурой и выполняется по алгоритмам и формулам, предложенным Баттервортом, Чебышевым, Лежандром и другими известными математиками. В данной работе используется аппроксимация низкочастотного прототипа, предложенная Баттервортом. Для перехода от передаточной функции низкочастотного прототипа

H_НЧ (p) = 1 / N(p) = 1 / 1 +b₁p + +b₂p² + … + b_npⁿ (12.2)

к передаточной функции ПФ

H_НЧ (p) = М'(р) / N' (р) = pⁿ / 1 +b´_1´p + +b´₂p² + … + b´_2np²ⁿ (12.3)

вводится преобразование частоты

ω → ω₀ (ω'/ ω₀ — ω₀ / ω'). (12.4)

Преобразование выражения (12.4) соответствует введению в соотношение (12.2) вместо оператора р нового оператора (р²+( ω₀ ²) / р. В результате коэффициент передачи (12.2) преобразуется в передаточную функцию (12.3); точка ω = 0 в низкочастотной функции соответствует точке ω ' = ω₀ в полосовой; точка ω →∞ соответствует двум точкам ω' = 0 и ω' →∞. Можно показать, что построенный таким образом ПФ имеет АЧХ с неравномерностью Δ в полосе прозрачности и затуханием |H(jω₂)| на границах полос задерживания, совпадающими с Δ и |H(jω₂)| НЧ-прототипа, если выполняются следующие условия (рис. 12.4):

ω₁' - ω´_-1 = ω_1, . ω₂' - ω´_-2 = ω_{2, ,} ω₀ = √ω'_-1 ω´₁ (12.5)

Рис. 12.4

Для получения коэффициентов b_i´ в передаточной функции (12.3) с учетом введенного выше преобразования оператора можно отыскать полюсы (корни уравнения N´(p) = 0) и нули (корни уравнения M´(p)=0) полосовой функции по полюсам низкочастотной. Каждый простой сомножитель НЧ-функции преобразуется следующим образом:

1 / p - p_k → 1 / [((p² + ω₀²) / p) - p_k] = p / [p -(p_k / 2 ±√ p_k²/ 4 - ω₀²) (12.6)

Из выражения (12.6) следует, что каждый полюс p_k НЧ-функции преобразуется в два полюса полосовой:

p_k → -p_k / 2 ± √ p_k²/ 4 - ω₀²).

Преобразование комплексно-сопряженной пары полюсов ФНЧ приводит к образованию двух пар полюсов и двух нулей в начале координат ПФ. Таким образом, порядок ПФ получается в два раза выше, чем у НЧ-прототипа.

По полученным парам полюсов ПФ могут быть рассчитаны центральные частоты и добротности его звеньев. Расчет может быть выполнен по имеющейся в лаборатории программе на микрокалькуляторе.

При синтезе НЧ-прототипа исходными параметрами являются Δ, |H(jω₂)| и значения граничных частот ω₁ и ω₂, полученные из соотношений (12.5). При аппроксимации по Баттерворту у квадрата модуля передаточной функции (12.2), который в самом общем случае имеет вид

G_НЧ (ω) = |H(jω)| ² = 1 / (1 + B₁ ω ² + B₂ ω ⁴ + ^…+ B_n ω ²ⁿ , (12.7)

все коэффициенты B_i (i = 1, 2,…., n-1) равны нулю, т. е.

G_НЧ (ω) = 1 / (1 + B_n ω ²ⁿ ) (12.8)

Если ввести нормирование по частоте

_n

ω_Н = √ b_aω = ω / ω*, (12.9)

что соответствует введению нового безразмерного масштаба АЧХ по оси частот (форма АЧХ при этом не меняется) и замене оператора

_n

р _Н = √ b_ap = p / ω*, (12.10)

то квадрат модуля передаточной функции по Баттерворту принимает простой вид:

G_НЧ (ω _Н ) = 1 / (1 + ω _Н ²ⁿ ) (12.11)

Такому квадрату модуля в зависимости от степени п соответствуют АЧХ, показанные на рис. 12.5. Задача синтеза НЧ-прототипа сводится к определению п, т. е. выбору из семейства характеристик такой, форма которой удовлетворяет заданию, и определению ω*, т. е. привязке выбранной АЧХ к заданным граничным частотам.

Рис. 12.5

Используя выражение (12.11) и составив уравнения для границы полосы пропускания

G(ω_{Н 1} ) = 1 / (1 + ω_{Н 1} ²ⁿ ) = (1 - Δ)² (12.12)

и для границы полосы задерживания

G(ω_{Н 2} ) = |H(jω²)| ² ≥ 1 / (1 + ω_{Н 2} ²ⁿ ) (12.13)

и решая их совместно с соотношением ω_{Н 1} / ω_{Н 2} = ω₁ / ω₂, получим при условии G(ω₂,)<<1 и Δ<<1 расчетные выражения для синтеза НЧ-прототипа:

n ≥ 1/2[ lg(1/2 Δ G(ω₂,))] / lg ω₂/ ω₁, ω_{Н 1} = √[1 / (1 - Δ) ² - 1], ω* = ω₁ / ω_{Н 1} (12.4)

После того, как найдено п, можно определить передаточную функцию НЧ-прототипа:

n	1	2	3
HНЧ (jωН)	1 / 1 + pН	1 / 1 +√2 pН + pН2	1 / (1 + pН )+(1 + pН + pН2