Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет «ЛЭТИ» имени В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра автоматики и процессов управления

Отчет по лабораторной работе №4

на тему: «Исследование характеристик систем с обратной связью в частотной области. Приближенное построение частотных характеристик замкнутых систем по частотным характеристикам звеньев»

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Бригада № 1, вариант № 1

Выполнили: Богомолова К.С.

Золотарев А.Р.

Миненков Д.В.

Группа: 4322

Факультет: КТИ

Проверил: Баранов А.В.

Санкт-Петербург

2006

Цель работы: Исследование характеристик систем с обратной связью в частотной области. Приближенное построение частотных характеристик замкнутых систем по частотным характеристикам (ЧХ) звеньев.

Задача 4.1

Дана структурная схема с передаточными функциями звеньев:

, .

Графически определить диапазоны частот , , используя ЛАЧХ разомкнутой системы (значение коэффициента передачи определяется вариантом задания) и построить в этих диапазонах приближённые ЛАЧХ и логарифмическую фазочастотную характеристику (ЛФЧХ) замкнутой системы.

,

, - передаточная функция разомкнутой системы (см. рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема системы с обратной связью

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы представлены на рис. 2.

Рис. 2. Логарифмические характеристики разомкнутой системы

Имеет место единичная отрицательная обратная связь, тогда справедливо:

Из рис. 2 видно, что график ЛАЧХ достигает значения 20 при , что можно проверить аналитически:

Следовательно: .

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы представлены на рис. 3.

Рис. 3. Логарифмические характеристики разомкнутой системы

Из рис. 3 видно, что график ЛАЧХ достигает значения -20 при , что также можно проверить аналитически:

Следовательно: .

,

ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы представлены на рис. 3 а).

Рис. 3 а). Логарифмические характеристики замкнутой системы

Вопрос: Какому типовому звену эквивалентна замкнутая система? Как выражаются параметры эквивалентной ПФ замкнутой системы через параметры ПФ звеньев?

Ответ: Параметры эквивалентной ПФ замкнутой системы выражаются через параметры ПФ звеньев следующим образом: , из этого следует, что замкнутая система эквивалентна апериодическому звену первого порядка

Вопрос: Какой вид имеют ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой и разомкнутой систем? Привести их графики.

Ответ: График разомкнутой системы - см. рис. 1, рис. 2; график замкнутой системы - см. рис. 3.

Вопрос: Какова должна быть частота входного сигнала , чтобы он воспроизводился системой практически без искажений? Подтвердить экспериментально, привести графики процессов.

Ответ: Исходя из того, что система имеет большое усиление на частотах из диапазона частот , то частота входного сигнала должна быть, к примеру . Проверим, собрав схему, представленную на рис. 4:

Рис. 4. Схема, для проверки гипотезы

В блоке Sine Wave задаем сигнал, частотой 0.5 и амплитудой 1, и смотрим результат в блоке Scope (рис. 5).

Рис. 5 а). Сигнал, на входе системы

Рис. 5 б). Сигнал, на выходе системы

Из рис. 5 а), б) видно, что сигнал проходит без искажений.

Вопрос: Какова должна быть частота входного сигнала , чтобы он практически не пропускался системой? Подтвердить экспериментально, привести графики процессов.

Ответ: Исходя из того, что система имеет малое усиление на частотах из диапазона частот , то частота входного сигнала должна быть, к примеру, . Проверим, собрав схему, аналогичную схеме на рис. 4.

В блоке Sine Wave задаем сигнал, частотой 100 и амплитудой 1, и смотрим результат в блоке Scope (рис. 6).

Рис. 6 а). Сигнал, на входе системы

Рис. 6 б). Сигнал, на выходе системы

Из рис. 6 а), б) видно, что сигнал на выходе системы значительно искажается по сравнению с исходным сигналом.

Задача 4.2

Дана структурная схема и передаточные функции звеньев:

, ,

,

Необходимо определить значение коэффициента передачи , при котором замкнутая система в частотном диапазоне : шириной в две декады имеет ЧХ, близкие к ЧХ пропорционально-дифференцирующего звена, т. е.

.

- передаточная функция разомкнутой системы.

Рис. 7. Структурная схема системы с обратной связью

, - передаточная функция замкнутой системы.

Для пропорционально-дифференцирующего звена

Рис. 8. Логарифмические характеристики пропорционально-дифференцирующего звена

Для того чтобы замкнутая система в частотном диапазоне : имела ЧХ, близкие к ЧХ пропорционально-дифференцирующего звена, нужно чтобы ЛАЧХ разомкнутой системы в этом диапазоне отвечала условию:

Рассмотрим ЛАЧХ нашей разомкнутой системы при и при (рис. 9) для оценки изменения коэффициента усиления . Система при принимается за исходную, не удовлетворяющую условию .

Рис. 9. ЛАЧХ разомкнутой системы, при – кривая зелёного цвета и при k=100 – кривая синего цвета

Из графика на рис. 9 видно, что при k=100 . В таком случае, построим ЛАЧХ замкнутой системы и пропорционально-дифференцирующего звена (см. рис. 10).

Рис. 10. ЛАЧХ замкнутой системы и пропорционально-дифференцирующего звена

Вопрос: Какое значение имеет коэффициент передачи замкнутой системы?

Ответ: Коэффициент передачи замкнутой системы k равен 100, т.к.

, значит, чем больше коэффициент k, тем выше проходит график ЛАЧХ. При , ЛАЧХ сдвигается на 20 дБ вверх, следовательно для получения необходимого сдвига в 40 дБ, коэффициент k должен быть равен 100.

Вопрос: Начиная с какого значения частоты ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутого контура существенно отличаются от ЛАЧХ и ЛФЧХ пропорционально-дифференцирующего звена? Как связано это значение частоты с параметрами и ?

Ответ: Из рис. 10 видно, что на частоте дБ графики кривых ЛАЧХ замкнутой системы и пропорционально-дифференцирующего звена начинают расходиться.

.

.

Задача 4.3

Даны две структурные схемы (см. рис. 11):

а) б)

Рис. 11. Две структурные схемы.

Докажем, что обе этих системы эквивалентны.

Передаточная функция замкнутой системы структурной схемы, представленной на рис. 11 а):

Кроме того:

и

Тогда запишем ПФ замкнутой системы структурной схемы, представленной на рис. 11 б), так:

Таким образом, видно, что схемы а) и б) эквивалентны.

ПФ разомкнутой системы , k=100.

Построим ЛАЧХ разомкнутого звена (рис. 11):

Рис. 11. ЛАЧХ разомкнутого звена.

Т.к. , и в частотном диапазоне ЛАЧХ больше 20 дБ, то контур имеет большое усиление, т. е. , тогда, согласно теории ЧХ замкнутой системы приближённо равна , что соответствует пропорционально-дифференцирующему звену.

10