Лабораторная работа 11 / lab1_result_final_BETA

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет «ЛЭТИ» имени В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра автоматики и процессов управления

Отчет по лабораторной работе №1

на тему:

Исследование характеристик типовых звеньев систем автоматического управления

по дисциплине «Основы теории управления»

Бригада № 1, вариант № 1

Выполнили: Богомолова К.С.

Золотарев А.Р.

Миненков Д.В.

Группа: 4322

Факультет: КТИ

Проверил: Баранов А.В.

см. 03.11.06, 06.11.06, 07.11.06 – А.Б.

Санкт-Петербург

2006

Цель работы: исследование характеристик типовых звеньев систем автоматического управления.

Задача 1.1. Для безынерционного (усилительного, пропорционального) звена, описываемого алгебраическим уравнением

или ПФ

На рис. 1 изображены переходная характеристика, АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Рис. 1. а) переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

Вопросы:

• На сколько дБ изменятся значения ЛАЧХ, если коэффициент передачи увеличится в 10 раз? Уменьшится в 2 раза? Как влияет значение параметра на фазовую характеристику?

если k увеличить в 10 раз, то возрастет на 20 дБ;

если k уменьшить в 2 раза, то уменьшится на , т.к. .

значение параметра на фазовую характеристику не влияет, т.к. у данной ПФ мнимой части нет.

• Чему равен коэффициент передачи , если значение ЛАЧХ равно -60 дБ?

Из выражения получаем .

Задача 1.2. Для интегрирующего звена, описываемого дифференциальным уравнением (ДУ) вида

или ПФ

На рис. 2 изображены переходная характеристика, АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Рис. 2. а) переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

Вопросы:

• Как соотносятся между собой постоянная времени и значение переходной характеристики при c?

.

• Чему равны значения ЛАЧХ и ЛФЧХ на частоте ?

;

.

Графики ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу) приведены на рис. 3.

Рис. 3. Графики ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

• Как изменяются переходная характеристика, ЛАЧХ и ЛФЧХ при увеличении постоянной времени в два раза? Привести графики.

k уменьшится в 2 раза. Как следствие:

Графики ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу) приведены на рис. 4.

Рис. 4. Графики ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

График ЛАЧХ теперь выходит из 0, т.к. и при ;

График ЛФЧХ не изменился, т.к. увеличение постоянной времени в два раза не повлияло на мнимую составляющую.

• Чему равна постоянная времени , если

.

Задача 1.3. Для дифференцирующего звена, описываемого уравнением вида

или ПФ

,

Переходная характеристика представлена на рис. 5 а)

Рис. 5 а) Переходная характеристика.

На рис. 5 б), в) изображены АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Рис. 5. б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

Вопросы:

• Как влияет параметр на площадь под кривой переходной характеристики ?

Параметр численно равен площади под кривой переходной характеристики , т.к. , а интеграл – площадь под кривой, с геометрической точки зрения.

При возрастании увеличивается площадь под кривой, при уменьшении , соответственно уменьшается, т.к. .

• Как изменяется ЛАЧХ при увеличении (уменьшении) параметра в два раза? Привести графики.

При увеличении параметра в два раза – увеличивается на (рис. 6).

Рис. 6. При увеличении параметра в два раза, ЛАЧХ увеличивается на 6 Дб.

При уменьшении параметра в два раза – уменьшается на (рис. 7).

Рис. 7. При увеличении параметра в два раза, ЛАЧХ увеличивается на 6 Дб.

• Чему равно значение постоянной времени , если ()?

Из уравнения

.

Задача 1.4. Для апериодического звена первого порядка, описываемого ДУ вида

или ПФ

,

На рис. 8 изображены переходная характеристика, АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Рис. 8. а) переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

Вопросы:

• Чему равны значения ЛАЧХ и ЛФЧХ : на частоте ; при уменьшении частоты в 10 раз, т. е. ; при увеличении частоты в 10 раз, т. е. ?

При 20 дБ;

При -20 дБ.

• Как отражается на переходной и частотных характеристиках уменьшение (увеличение) постоянной времени в 4 раза? Коэффициента передачи в 10 раз? Привести графики, сделать выводы о качественных изменениях.

Далее для наглядности график ЛАЧХ будет изображаться отдельно от графика ЛФЧХ.

Графики изменения характеристик при изменении постоянной времени на рис. 9.

Z4 – график исходной ПФ;

Z4_t_v_4_raza_ymensh – график ПФ, с постоянной времени, уменьшенной в 4 раза;

Z4_t_v_4_raza_yvel – график ПФ, с постоянной времени, увеличенной в 4 раза.

Рис. 9. Графики переходных характеристик(слева вверху), АФХ (справа вверху), ЛАЧХ (Bode Diagram) и ЛФЧХ (слева снизу).

При уменьшении постоянной времени в 4 раза, переходная характеристика становится более крутой, т.е. система быстрее реагирует на воздействие; точка изгиба графика ЛАЧХ сдвигается вправо; график ЛФЧХ сдвигается вправо; АФХ не изменяется.

При увеличении постоянной времени в 4 раза, соответственно наоборот.

Графики изменения характеристик при изменении коэффициента передачи на рис. 10.

Z4 – график исходной ПФ;

Z4_k_v_10_raz_ymensh – график ПФ, с коэффициентом передачи, уменьшенным в 10 раз;

Z4_k_v_10_raz_yvel – график ПФ, с коэффициентом передачи, увеличенным в 10 раз.

Рис. 10. Графики переходных характеристик(слева вверху), АФХ (справа вверху), ЛАЧХ (Bode Diagram) и ЛФЧХ (слева снизу).

При увеличении коэффициента передачи в 10 раз, переходная характеристика стремится к асимптоте y = 10k ; начальная координата y точки начала графика АФХ увеличилась в 10 раз; график ЛАЧХ сдвинулся на 20 единиц верх; график ФЧХ не изменился.

При уменьшении постоянной коэффициента передачи в 10 раз, соответственно наоборот.

• Чему равно максимальное значение постоянной времени , при котором для любой частоты рад/с значение дБ, а значение , если коэффициент передачи ?

Решим систему уравнений:

Из этой системы уравнений, следует, что .

Задача 1.5. Для неустойчивых апериодических звеньев первого порядка, описываемых ДУ

,

или ПФ

,

На рис. 11 изображены переходная характеристика, АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ и корневая область.

Z51 - график ПФ ;

Z52 - график ПФ .

Рис. 11. переходная характеристика (слева вверху), АФХ (справа вверху), ЛАЧХ (Bode Diagram) и ЛФЧХ (слева внизу) и корневая область (справа внизу).

Задача 1.6. Для звена второго порядка, описываемого ДУ вида

или ПФ

,

На рис. 12 изображены переходная характеристика, АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ и корневая область.

Рис. 12. переходная характеристика (слева вверху), АФХ (справа вверху), ЛАЧХ (Bode Diagram) и ЛФЧХ (слева внизу) и корневая область (справа внизу).

Провести исследование характеристик звена, состоящее в следующем.

• Проанализировать движение корней (траекторий корней) ХП на комплексной плоскости при изменении параметра , привести графики. Построение траекторий корней выполняется следующим образом. Выбирается какое-либо значение параметра и на комплексной плоскости корней наносятся точки, соответствующие корням ХП. Затем выбирается другое значение параметра и на комплексной плоскости наносятся новые точки, отвечающие ХП. Это процесс многократно повторяется, в результате чего получается множество точек, принадлежащих траекториям корней. Количество точек должно быть выбрано таким образом, чтобы при их соединении можно было бы получить достаточно плавные непрерывные кривые (траектории) изменения корней. Направленность траекторий принимается от меньших значений к большим.

Движение корней ХП, на комплексной плоскости (рис. 13). Корни движутся справа налево.

Скрипт, рисующий движение корней:

figure

hold on

for z = 0:0.01:1

t = tf([2],[0.25 2*0.25*z 1]);

pzmap(t)

end

Рис. 13. Движение корней ХП, на комплексной плоскости.

• Построить график зависимости резонансного пика АЧХ от коэффициента демпфирования в пределах .

(следует из материала практических занятий)

График зависимости резонансного пика АЧХ от коэффициента демпфирования (рис. 14).

Рис. 14. График зависимости резонансного пика АЧХ от коэффициента демпфирования.

• Построить график зависимости резонансной частоты от постоянной времени при выбранном значении .

Пусть

(следует из материала практических занятий)

График зависимости резонансной частоты от постоянной времени при значении рис. 15.

Рис. 15. График зависимости резонансной частоты от постоянной времени.

• Определить экспериментально оптимальное значение коэффициента демпфирования из условия минимума времени затухания процесса (принять за время, начиная с которого переходная характеристика остается в пределах  5% от установившегося значения). Как располагаются на комплексной плоскости корни ХП при ? Чему равна высота пика ЛАЧХ?

Экспериментально оптимальное значение коэффициента демпфирования ; высота пика ЛАЧХ равна 0.

Методика эксперимента:

определялось методом средней точки. Искался минимум от функции при заданном значении . По матрице Гессе определили, что полученный график исследования является выпуклым, значит, существует только один экстремум. Далее был найден минимум при .

Графики переходной характеристики, ЧХ и корневой области на рис. 16.

Рис. 16. Графики переходной характеристики (слева сверху), ЧХ (слева снизу), АФХ (справа сверху) и корневой области (справа внизу).

• Определить переходную и частотные характеристики (АФХ и ЛЧХ) при изменении знака коэффициента демпфирования на , привести графики.

Графики переходной, корневой и ЧХ при изменении знака коэффициента демпфирования на рис. 17.

Z6_1 - график ПФ ;

Z6_2 - график ПФ .

Рис. 17. Графики переходной, корневой (сверху) и ЧХ (снизу) при изменении знака коэффициента демпфирования.

19