§ 7. Центрированная оптическая система

Случай преломления на одной сферической поверхности сравнительно редок. Большинство реальных преломляющих систем содержит, по крайней мере, две преломляющие поверхности (линза) или большее их число.

С истема сферических поверхностей называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой (рис. 7.1), которая называется главной оптической осью системы.

Для всех рассуждений, изложенных в § 5, было существенно, что из точки L (см. рис. 5.2) выходит гомоцентрический пучок лучей, и отнюдь не важно, каким способом он получен. В частности, в L может находиться не точечный источник света, а его стигматическое изображение, полученное с помощью какой-либо иной оптической системы. Следовательно, соотношение (6.3) можно последовательно применить к каждой преломляющей поверхности сложной оптической системы, понимая под L изображение точечного источника, образованное всеми предыдущими поверхностями. Очевидно, что при этом а1 может быть и положительным, если на рассматриваемую поверхность падает сходящийся пучок лучей (см. рис. 7.1, поверхность Σ₃).

Для точки L₁, лежащей на оси, пучок параксиальных лучей сохраняет гомоцентричность, т. е. он соберется в точке L₂, из которой также пойдет параксиально и, следовательно, сохранит гомоцентричность, и т. д.

Итак, гомоцентрический параксиальный пучок остается гомоцентрическим при произвольном числе преломлений (и отражений) в центрированной сферической системе; таким образом, точка L₁, даст в центрированной системе стигматическое изображение (действительное или мнимое).

Подобным же образом, повторяя рассуждения § 6, можно показать, что небольшой участок плоскости, расположенный в первой среде перпендикулярно к оптической оси центрированной системы, изобразится в последней преломляющей среде сопряженной плоскостью, также перпендикулярной к оптической оси, причем изображение остается геометрически подобным объекту. Наличие двух фокусов и двух фокальных поверхностей, установленное для одной сферической поверхности, сохраняется также и для всякой центрированной системы поверхностей. Точно так же для центрированной системы поверхностей сохраняет силу и теорема Лагранжа — Гельмгольца, т. е.:

y₁n₁u₁= y₂ n₂ u₂= y₃ n₃ u₃=…

Для центрированной системы сохраняет смысл и понятие главных плоскостей как таких сопряженных плоскостей, в которых объект и изображение имеют одинаковые величину и направление. Но в то время как для одной преломляющей сферической поверхности обе главные плоскости сливались в одну, касающуюся сферической поверхности в ее вершине S, для центрированных поверхностей эти две плоскости, вообще говоря, не совпадают. Фокусные расстояния системы, так же как и в случае одной сферической поверхности, есть расстояния от соответствующей главной плоскости до фокуса.

§ 8. Преломление в линзе. Общая формула линзы

Большое значение имеет простейший случай центрированной системы, состоящей всего из двух сферических поверхностей, ограничивающих какой-либо прозрачный хорошо преломляющий материал (обычно стекло) от окружающего воздуха. Такая система представляет, очевидно, обычную линзу.

Линза называется тонкой, если обе ее вершины можно считать совпадающими, т. е. если толщина линзы d мала по сравнению с R₁, и R₂, радиусами кривизны ограничивающих поверхностей. На рис. 8.1 для ясности линза изображена толстой. В дальнейших расчетах будем полагать, что точки S₁ и S₂ сливаются, и обозначим их буквой S. Все расстояния будем отсчитывать от этой точки S, которая практически совпадает с S₁ и S₂. Точка S носит название оптического центра линзы. Любой параксиальный луч, проходящий через S, практически не испытывает преломления. Действительно, для таких лучей участки обеих поверхностей диазы можно считать параллельными, так что луч, проходя через них, не меняет направления, но лишь смещается параллельно самому себе (преломление в плоскопараллельной пластинке), а так как толщиной линзы мы пренебрегаем, то смещение это ничтожно и луч практически проходит без преломления. Луч, проходящий через оптический центр, мы назовем осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих поверхностей, называется главной, остальные — побочными.

П реломление на первой сферической поверхности создало бы без второй сферической поверхности в сплошном стекле с показателем преломления п изображение С на расстоянии SC = а (см. рис. 8.1) от вершины, так что

где а₁ = SA₁, R₁ — радиус кривизны первой поверхности линзы. Для второй поверхности С является как бы мнимым источником света. Построение изображения этого источника после преломления на второй поверхности линзы даст точку В на расстоянии а₂ = SB от линзы. Здесь опять применима формула:

где R₂ — радиус второй поверхности.

Так как n₁ = n₂ (воздух с двух сторон линзы), то имеем:

,

Складывая второе уравнение с первым, получим:

,

или, вводя относительный показатель преломления N = п/п₁,

Эта общая формула линзы годна для линз выпуклых и вогнутых при любом расположении источника и соответствующем расположении фокуса. Нужно только принять во внимание знаки a₁, a₂, R₁, R₂ считая их положительными, если они отложены вправо от линзы, и отрицательными, если они отложены влево от линзы . Если знаки а₁ и а₂, одинаковы, то одна из сопряженных точек — мнимая, т. е. в ней пересекаются не сами лучи, а их воображаемые продолжения.

Если светящаяся точка, лежащая на главной оси, уделяется от линзы (а₁ возрастает по абсолютной величине), то изображение перемещается. Положение изображения, соответствующее предельному случаю, когда источник удален в бесконечность, носит название фокуса линзы. Таким образом, фокус есть точка, сопряженная бесконечно удаленной точке главной оси, или, что то же, — место схождения лучей, параллельных главной оптической оси. Расстояние от линзы до фокуса есть фокусное расстояние тонкой линзы. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к главной оси, называется фокальной плоскостью. Если лучи идут из бесконечности параллельным пучком, но под углом к главной оси (вдоль побочной оси), то они пересекаются в соответствующей точке А фокальной плоскости. Таким образом, фокальная плоскость есть плоскость, сопряженная бесконечно удаленной плоскости.

Для определения фокусных расстояний имеем следующие соотношения:

при а₁= -

при а₂=

Итак, фокусные расстояния линзы равны по величине и противоположны по знаку, т.е. фокусы лежат по разные стороны от линзы.

В зависимости от знака и величины R₁ и R₂, а также от знака (N - 1), величина f₁ может быть положительной либо отрицательной, т. е. фокус может быть мнимым или действительным. То же относится и к f₂, причем нетрудно видеть, что если первый фокус — мнимый, то и второй будет мнимым, и наоборот.

Если фокусы действительны, т.е. параллельные лучи после преломления в линзе сходятся, то линза называется собирательной или положительной. При мнимых фокусах параллельные лучи после преломления в линзе становятся расходящимися. Поэтому такие линзы называются рассеивающими или отрицательными.