Курсовик по ТОЭ вариант 20 / toe_kurs_t4_20

Министерство Образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский

Государственный Электротехнический Университет (ЛЭТИ)

Кафедра ТОЭ

Курсовой расчет

по теме

Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот.

вариант №20

Выполнил: Солоха В.Н.

Проверил:

Санкт-Петербург

2002

СОДЕРЖАНИЕ

Цель работы 3

Исходные данные 3

Нормирование параметров цепи 3

Определение функции передачи цепи 3

Определение частотных характеристик цепи 3

Составление уравнений состояния цепи 5

Определение переходной и импульсной характеристик 5

Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе 8

Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия 9

Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе 10

Определение спектра входного периодического сигнала 11

Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии 14

Заключение 15

Список литературы 16

Цель работы: практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепей.

Исходная цепь изображена на рисунке. Параметры цепи:

Параметры входного сигнала:

Нормирование параметров цепи: Для облегчения расчетов сблизим по порядку значения параметров этой цепи. За базисные значения возьмем:

Таким образом нормированные параметры цепи будут иметь вид:

Определение функции передачи цепи H(j):

Для определения функции передачи цепи построим схему замещения цепи в частотной области. Положив сигнал на входе цепи (что соответствует воздействию единичной импульсной функции) найдем ток на выходе цепи. Таким образом функция передачи цепи имеет вид:

Нулями этой функции являются корни числителя, а полюсами – корни знаменателя. Нули Полюса . Расположение нулей и полюсов функции передачи цепи отразим на плоскости комплексной частоты:

Оценим практическую длительность переходных процессов:

Рисунок 1 Нули и полюса функции передачи цепи

Определение частотных характеристик цепи (АЧХ,ФЧХ,АФХ):

Обобщенная частотная, т.е. амплитудно-фазовая характеристика:

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазочастотная характеристика:

Рисунок 2 Обобщенная частотная характеристика (АФХ)

Рисунок 3 Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

Рисунок 4 Фазочастотная характеристика (ФЧХ)

Частота среза определенная по амплитудно-частотной характеристике по уровню 0.707 от максимального:

Таким образом полоса пропускания цепи

Полагая спектр входного сигнала полностью укладывающимся в полосу пропускания цепи сделаем качественный вывод об искажениях сигнала при прохождении через цепь:

Амплитуда сигнала на выходе цепи будет в раз, что объясняется потерями на активных элементах. Кроме того фазочастотная характеристика в области малых частот близка к линейной, следовательно сигнал на выходе цепи будет практически не искажен. Оценим время запаздывания сигнала на выходе цепи: .

Составление уравнений состояния цепи:

Для составления уравнений состояния заменим индуктивности и емкости на источник тока и источники напряжения соответственно, и, используя законы Кирхгофа, выразим токи в емкостях и напряжение на индуктивности:

Воспользовавшись вольт-амперными характеристиками элементов, получим уравнения состояния в матричном виде:

т.е. в виде

В числах уравнения запишутся так:

,где -характеристическая матрица системы.

Определение переходной и импульсной характеристик:

Уравнения состояния цепи представляют собой уравнения Коши в нормальной форме, которые удобно решать с использованием матриц и векторов.

Учитывая связь переходной характеристики с переменными состояния, найдем аналитическое выражение для переходной характеристики:

Собственные числа характеристической матрицы системы:

численно совпадают с полюсами функции передачи цепи, что говорит о правильности составления уравнений состояния.

Собственные векторы характеристической матрице системы, соответствующие найденым собственным числам:

Вынужденные составляющие найдем, положив производные равными нулю на бесконечности:

Поскольку собственные векторы определяются с точностью до константы, необходимо определить произвольные постоянные интегрирования. Определим их из начальных условий (ННУ нулевые):

В таком случае решение уравнений состояния запишется в следующем виде:

Подставив все необходимые числа и проведя преобразования получим аналитическое решение уравнений состояния:

Выразим отсюда переходную характеристику:

Импульсную характеристику найдем через ее связь с переходной:

Для численного расчета переходной характеристики воспользуемся Методом численного интегрирования Рунге-Кутта, входящего в состав программного пакета MathCad.

Все необходимые расчеты сведены в таблицу:

	0	1.75	3.5	5.25	7	8.75	10.5	12.25	14	15.85
	0	0.197	0.232	0.251	0.288	0.344	0.407	0.468	0.517	0.551

	17.5	19.25	21	22.75	24.5	26.25	28	29.75	31.5	35
	0.567	0.569	0.559	0.543	0.524	0.507	0.493	0.484	0.48	0.483

Построим решения для переходной и аналитической характеристик, изобразив тонкими линиями составляющие аналитического расчета:

Рисунок 5 Импульсная характеристика

Рисунок 6 Переходная характеристика (численное и аналитическое решение)

Численное решение для переходной характеристики практически совпадает с аналитическим, что говорит о большой точности компьютерного расчета.

Для контроля переходной и импульсной характеристик найдем их из функции передачи цепи, используя следующие соотношения: .

Поскольку вычисление оригиналов изображений по Лапласу достаточно трудоемко и в общем случае требует вычисления контурного интеграла с применением теоремы о вычетах Коши, для нахождения этих оригиналов воспользуемся программным пакетом MathCad:

Разложение на простейшие дроби:

Таким образом оригиналы:

То есть, вычисленные характеристики верны.

Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе:

Входной импульс изображен на рисунке 7:

Рисунок 7 Импульс на входе цепи

Аналитически этот импульс представляется так:

Изображение этого импульса по Лапласу:

Изображение импульса на выходе может быть найдено из условия:

Оригинал этого изображения может быть легко найден из следующих соображений:

Импульс входного тока представляет собой линейную комбинацию четырех функции, которые представляют из себя одну функцию, но запаздывающую на разные значения.

В силу линейности оператора Лапласа можно ограничится нахождением только одной части этого изображения, и, воспользовавшись теоремой запаздывания, получить искомый оригинал.

Разложение на простейшие дроби:

Соответствующий оригинал:

Аналитическое выражение для импульса на выходе цепи:

Для нахождения реакции численным методом воспользуемся найденной ранее импульсной характеристикой. Вычислим интеграл свертки с помощью программного пакета MathCad. Результаты вычислений сведены в таблицу:

	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
	0	0.121	0.32	0.621	0.78	0.757	0.499	0.094	-0.295	-0.617

	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95
	-0.791	-0.764	-0.571	-0.247	-0.012	0.087	0.051	0.008	-0.026	0.0098

Рисунок 8 Импульс на входе цепи. Аналитическое и численное решение для реакции

Сигнал на выходе цепи искажен незначительно. Сигнал запаздывает на 7 по отношению к входному. Данный расчет подтверждает правомерность сделанного ранее качественного вывода об ожидаемых искажениях. Можно предположить, что большая часть спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания цепи.

Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия:

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Построим спектры входного сигнала:

Рисунок 9 Амплитудный спектр входного импульса

Рисунок 10 Фазовый спектр входного импульса

Ширина спектра по десятипроцентному критерию: . То есть большая часть спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания цепи, а ФЧХ в этой полосе близка к линейной, следовательно сигнал на выходе цепи будет сравнительно мало искажен. Можно ожидать увеличения длительности переднего и заднего фронтов импульса. В следствии того, что ширина спектра несколько больше полосы пропускания цепи, выходной импульс будет несколько сглажен. Данный качественный вывод подтверждается точным расчетом, сделанным ранее.

Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе:

Спектральная плотность выходного тока: , где - амплитудный, а - фазовый спектры выходного сигнала.

Все необходимые составляющие нами уже получены. Для построения аплитудного и фазового спектров воспользуемся программным пакетом MathCad 2001.

Рисунок 11 Амплитудный спектр реакции при одиночном импульсе воздействия

Рисунок 12 Фазовый спектр реакции при одиночном импульсе воздействия

Определение спектра входного периодического сигнала:

Для разложения в ряд Фурье периодической последовательности импульсов найдем комплексные амплитуды гармоник ряда:

, где - частота первой гармоники.

Амплитуды и начальные фазы гармоник ряда Фурье вычислим с помощью программного пакета MathCad:

	0	1	2	3	4	5
	0	1.62	0.0012	0.18	0	0.065
	1.571	-1.571	-1.571	1.571	1.571	-1.571

Таким образом входной периодический сигнал можно представить в виде отрезка ряда Фурье: 

Рисунок 13 Амплитудный-дискретный частотный спектр входного сигнала

Рисунок 14 Фазовый частотный дискретный спектр входного сигнала

Рисунок 15 Входной периодический сигнал и его аппроксимация отрезком ряда Фурье

Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии:

Амплитуды и начальные фазы гармоник выходного тока:

Результаты вычислений сведены в таблицу:

	0	1	2	3	4	5
	0	1.62	0.0012	0.18	0	0.065
	0.502	0.499	0.394	0.0003	0.164	0.204
	0	0.809	0.0005	5.3E-5	0	0.013
	1.571	-1.571	-1.571	1.571	-1.571	1.571
	0	-0.489	-1.349	0.633	0.076	-0.208
	1.571	-2.06	-2.92	2.204	1.646	-1.964

Таким образом выходной периодический сигнал можно представить в виде отрезка ряда Фурье: 

Рисунок 16 Амплитудный дискретный частотный спектр выходного сигнала

Рисунок 17 Фазовый частотный дискретный спектр выходного сигнала

Рисунок 18 Входной периодический сигнал и аппроксимация выходного сигнала отрезком ряда Фурье

Из графиков видно, что периодический сигнал запаздывает по отношению к входному, что вызвано нелинейностью фазо-частотной характеристики. Также наблюдается некоторое сглаживание сигнала, вызванное тем, что не все гармоники выходного сигнала попадают в полосу пропускания цепи.

Заключение

Выполненная работа позволяет произвести сравнение различных методов расчета цепей. Наиболее трудоемки является отыскание реакции цепи во временной области. Применение преобразований Лапласа и Фурье позволяет значительно упростить отыскание реакции на воздействие сигнала произвольной формы. Применение частотного метода анализа при апериодическом воздействии позволяет сделать качественные выводы об искажениях сигнала при его прохождении через цепь. При воздействии периодического сигнала наиболее оправданным является применение частотного метода анализа.

Список литературы

1. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. М. Высш. Шк., 1990

2. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. М. Энергия. 1966

3. Башарин С.А., Бычков Ю.А. Компьютерное моделирование и расчет электрических цепей /Учеб. пособие/ ГЭТУ. СПб., 1994

4. Барков А.П., Башарин С.А. и др. Курсовое проектирование по теории электрических цепей /Учеб. пособие/ ГЭТУ. СПб.б 1996

16