Вариант 15 () / kurs_tbe

\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{lab}
\usepackage{caption2}
 % заменяем для рисунков ':' после номера рисунка на '.'
\renewcommand{\captionlabeldelim}{.}
\usepackage{graphicx}% Пакет поддержки графики
\usepackage{literat}
\usepackage[unicode, colorlinks]{hyperref}

\newcommand{\ergo}[1]{\stackrel{\eqref{#1}}{\Rightarrow}}
\newcounter{tbl}
\newcommand{\ctbl}{\par \refstepcounter{tbl} \bf Таблица \arabic{tbl}. \rm}


\begin{document}
%\begin{titlepage}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}
\textit{I. P. Labs --- \LaTeX Team}

\large Санкт-Петербургский Государственный Электротехнический
Университет\\
(ЛЭТИ)\\[1cm]

кафедра ТОЭ\\[2cm]


Пояснительная записка к курсовой работе\\[1.5cm]

\LARGE \bf \textsc{Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот}\\[8cm]

\end{center}

\begin{tabular}{p{10cm}p{5cm}}
\begin{flushleft}
Преподаватель:
\end{flushleft}
&
\begin{flushright}
Чернышев Э. П.
\end{flushright}

\end{tabular}

%\noindent{Выполнил студент группы 1341, ФКТИ\\}
%Пухкал Иван \\[0.5cm]

\noindent{\\[4cm]}

\begin{center}
Санкт-Петербург \\
2003
\end{center}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Благодарности}

I. P. Labs благодарит:

\begin{itemize} \item Чернышева Эдуарда
Павловича --- за поддержку знаниями из курса ТОЭ и ответами к
курсовику, а также за приятную и содержательную беседу при защите
курсовой.

\item Всех-всех-всех из группы 1341 --- за дружеские советы и
моральную поддержку, и персонально Поповича А. --- за полезное
сканирование и Порохина А. --- за своевременно добытые образцы
курсовиков.

\item Доктора Дональда Э. Кнута --- за трудовой подвиг ---
создание системы \TeX.

\item Лэсли Лампорта --- за прекрасную адаптацию \TeX \,\,в виде
\LaTeX


\item Александра Симоника --- за написанный текстовый редактор
WinEdt

\item Авторов дистрибутива MiKTeX и авторов многих пакетов к
\LaTeX

\item Ольгу Лапко, фирму ParaGraph и всех, кто когда-либо
участвовал в кириллизации \TeX. Именно благодаря вам мы можем
писать тексты с удовольствием.

\item С. М. Львовского, М. Гуссенса, Ф. Миттельбаха, А. Самарина и
авторов \TeX FAQ --- за доступную документацию на русском.

\item Delta-MM Corp., ООО <<Программа 2000>> (www.cdboom.ru) ---
за издание диска с дистрибутивом MiKTeX и документацией. Я ждал
этого давно.

\item Ирфана Скильяна --- автора Irfan Viewer.

\item Сидоренко А. В. --- за приверженность идеям Open Source в
применении к курсовикам.

\item Сети Letinet --- за надежное хранение материалов.

\item www.newmail.ru --- за предоставленное место для хостинга
сайта 1341.nm.ru

\item Авторов MathCAD --- все рисунки были сделаны именно в нем.

\item Компанию МобилТек --- за своевременно установленную копию
Microsoft Windows.

\item Корпорацию Майкрософт --- нет необходимости говорить за что.

\item И всех, кого забыл назвать\ldots\\[5cm]
\end{itemize}

\begin{center} \Large \sc \textbf{Спасибо!}\end{center}
\newpage

\section{Техническое задание}
\paragraph{Цель курсовой работы:} Практическое освоение и
сравнение методов расчета цепей.

\paragraph{Задание}

На вход электрической цепи (рисунок \ref{img:19}) с момента $t=0$
подается импульс напряжения $u_1$. Реакцией цепи является
напряжение $u_2=u_{R_2}$. График импульса представлен на рисунке
\ref{img:18}, параметры схем и данные импульсов сведены в таблицы
\ref{tabl4} и \ref{tabl5}.

\begin{figure}[ht]
\center
\includegraphics[width=8cm,height=4cm]{kurs_sch2}
\caption{Схема.} \label{img:19}
\end{figure}

\begin{figure}[ht]
\center
\includegraphics[width=7cm,height=5cm]{kurs_sch}
\caption{Входной импульс.} \label{img:18}
\end{figure}

\ctbl Параметры схемы \label{tabl4}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline

$R_1=R_2$, кОм & $L_1$, мГн & $L_2$, мГн & $C_1$, пкФ\\
\hline

2 & 2 & 2 & 1000 \\
\hline
\end{tabular}

\ctbl Данные импульса \label{tabl5}

\begin{tabular}{|c|c|}
\hline

$U_m$, В & $t_\text{и}$, мкс\\
\hline

100 & 25.12\\
\hline
\end{tabular}
\newpage

\section{Нормировка}

Проведем нормировку параметров цепи (используя $R_\text{б} = R_1 =
R_2 = 2 \cdot 10^3 \text{ Ом}$ и $\omega_\text{б} = 10^6 \text{
c}^{-1}$ ):

\begin{gather}
R_* = \frac{R_1}{R_\text{б}} = \frac{R_2}{R_\text{б}} = 1\\
L_* = L_1 \frac{\omega_\text{б}}{R_\text{б}} = L_2
\frac{\omega_\text{б}}{R_\text{б}} = 1\\
C_* = C_1 \omega_\text{б} R_\text{б} = 2\\
t_\text{б} = \frac{1}{\omega_\text{б}} = 10^{-6}\\
t_{\text{и}_*} = \frac{t_\text{и}}{t_\text{б}} = 25.1
\end{gather}

В дальнейшем индекс <<*>> будет опущен.

\section{Расчет передаточной функции цепи}

Для определения передаточной функции будем использовать метод
пропорционального воздействия. Пусть выходная реакция равна 1.

$$
z_L = z_{L_1} = z_{L_2} = s
$$
$$
z_C = z_{C_1} = \frac{1}{2s}
$$
\begin{gather}
U'_\text{вых}(s) = 1 \label{pf:+1}\\
\ergo{pf:+1} I'_{R_2}(s) = \frac{U'_\text{вых}(s)}{R} = 1 \label{pf:+9}\\
\ergo{pf:+9}I'_{L_2}(s) = I'_{R_2}(s) = s \label{pf:+2}\\
\ergo{pf:+2} U_{L_2}(s) = I'_{L_2}(s) z_{L} = s \label{pf:+3}\\
\ergo{pf:+1} \ergo{pf:+3} U'_{C_1}(s) = U'_{L_2}(s) +
U'_{\text{вых}} (s) =
s + 1 \label{pf:+4}\\
\ergo{pf:+4} I'_{C_1} (s) = \frac{U'_{C_1}(s)}{z_C} = 2s^2+2s \label{pf:+5}\\
\ergo{pf:+2} \ergo{pf:+5} I'_\text{вх} = I'_{C_1}(s) + I'_{L_2}(s)
= 2s^2 + 2s + 1 \label{pf:+7}\\
z_{вх} = R_1 + z_{L_1} +
\frac{z_{C_1}(z_{L_2})}{z_{C_1}+z_{L_2}+R_2} =
\frac{2s^3+4s^2+4s+2}{2s^2+2s+1}\label{pf:+6}\\
\ergo{pf:+7} \ergo{pf:+6} U'_\text{вх}(s) = I'_\text{вх}(s)
z_\text{вх}
= 2s^3+4s^2+4s+2 \label{pf:+8}\\
\ergo{pf:+1} \ergo{pf:+8} H(s) =
\frac{U'_\text{вых}(s)}{U'_\text{вх}(s)} =
\frac{0.5}{(s+1)(s^2+s+1)} \label{pf:+10}
\end{gather}

Нули передаточной функции --- нет.

Полюсы передаточной функции:

$$
s_{\text{п}_1} = -1
$$
$$
s_{\text{п}_{2,3}} = -0.5 \pm j0.865
$$

Их расположение на комплексной плоскости --- рисунок \ref{img:1}.
\newpage
\begin{figure}[ht]
\center
\includegraphics[width=11cm,height=7cm]{kurs_31}
\caption{Расположение полюсов передаточной функции на комплексной
плоскости.} \label{img:1}
\end{figure}

Время практической длительности переходных процессов: $t_\text{ПП}
= 3 \tau_{max} = -\frac{3}{s_{min}} = 6$.

\section{Расчет частотных характеристик цепи $H(j\omega)$}

\begin{gather}
\ergo{pf:+10} H(s) = \frac{0.5}{(s+1)(s^2+s+1)}\\
H(j\omega) = \left. H(s)\right|_{s=j\omega} = \frac{0.5}{(j
\omega+1)((j\omega)^2+j \omega+1)} \label{ch:+1}
\end{gather}

\paragraph{Амплитудно-частотная характеристика}

\begin{gather}
\ergo{ch:+1} A(\omega) = |H(j\omega)| =
\frac{\sqrt{0.5}}{\sqrt{(1-2\omega^2)^2+(-\omega^3+2\omega)^2}}
\end{gather}

Ее график --- на рисунке \ref{img:2}.

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=17cm,height=8cm]{kurs_32}
\caption{Амплитудно-частотная характеристика.} \label{img:2}
\end{figure}

\newpage
\begin{gather}
A(0) = 0.5 \label{ch:+2}
\end{gather}

Из рис. \ref{img:2} можно установить, что полосу пропускания цепи
составляют частоты от 0 до 1. Из \eqref{ch:+2} видно, что
амплитуда выходного сигнала составит половину от амплитуды
входного сигнала. \label{chtext+1}

\paragraph{Фазо-частотная характеристика}

\begin{gather}
\Phi(\omega) = -\arctg{\omega} - \arctg{\frac{\omega}{1-\omega^2}}
\end{gather}

Ее график --- на рисунке \ref{img:3}.

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=15cm,height=7cm]{kurs_33}
\caption{Фазо-частотная характеристика.} \label{img:3}
\end{figure}

Время запаздывания: $t_\text{з} = |\Phi'(0)| = 2$

\paragraph{Амплитудно-фазовая характеристика}

Ее график --- на рисунке \ref{img:4}.

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=12cm,height=8cm]{kurs_34}
\caption{Амплитудно-фазовая характеристика.} \label{img:4}
\end{figure}

\section{Определение переходной и импульсной характеристик}

\begin{gather}
\ergo{pf:+10} H(s) = \frac{0.5}{(s+1)(s^2+s+1)} = \frac{A_1}{s+1}
+ \frac{A_2}{s+0.5-j0.865} + \frac{A_3}{s+0.5+j0.865} + A_0 \label{h1:+1}\\
A_0 = H(\infty) = 0 \label{h1:+3}\\
A_1 = \left.H(s)(s+1)\right|_{s=-1} = 0.5\\
A_2 = \left.H(s)(s+0.5-j0.865)\right|_{s=-0.5-j0.865} = 0.289
e^{j150^{\circ}} \\
A_3 = \stackrel{*}{A_2} = 0.289e^{-j150^{\circ}}\\
\ergo{h1:+1}H(s) \risingdotseq h(t) = \left(0.5e^{-t} + 0.578
e^{-0.5t}\cos{(0.865t-150^{\circ})}\right)\delta_1(t)\\
\ergo{pf:+10} H_1(s) = \frac{H(s)}{s} =
\frac{0.5}{s(s+1)(s^2+s+1)} = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+1}
+ \frac{A_3}{s+0.5-j0.865} + \frac{A_4}{s+0.5+j0.865} \label{h1:+2}\\
A_1 = \left.H_1(s)s\right|_{s=0} = 0.5\\
A_2 = \left.H_1(s)(s+1)\right|_{s=-1} = -0.5\\
A_3 = \left.H_1(s)(s+0.5-j0.865)\right|_{s=-0.5-j0.865} = 0.289
e^{j90^{\circ}} \\
A_4 = \stackrel{*}{A_3} = 0.289e^{-j90^{\circ}}\\
\ergo{h1:+2}H_1(s) \risingdotseq h_1(t) = \left( 0.5 - 0.5e^{-t} +
0.578e^{-0.5t}\cos{(0.865t+90^{\circ})} \right) \delta_1(t)
\end{gather}

График $h(t)$--- на рисунке \ref{img:5}.

\newpage
\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=14cm,height=8cm]{kurs_36}
\caption{Импульсная характеристика цепи.} \label{img:5}
\end{figure}


График $h_1(t)$--- на рисунке \ref{img:6}.

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=14cm,height=9cm]{kurs_35}
\caption{Переходная характеристика цепи.} \label{img:6}
\end{figure}

\section{Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе}

Пусть на входе импульс, заданный в техническом задании. Его
длительность $t_{\text{и}} = 25.1$.

Тогда входной сигнал:

\begin{gather}
u_\text{вх}(t) = 15.9 \delta_1(t) - 15.9 \delta_1(t-6.28) - 15.9
\delta_1(t-18.8) + 15.9 \delta_1(t-25.1)\label{d1:+1}\\
\ergo{d1:+1} U_\text{вх}(s) = \frac{15.9}{s^2}\left(1 - e^{-6.28s}
- e^{-18.8s}+ e^{-25.1s}\right) \label{d1:+2}\\
\begin{split}
\ergo{d1:+2} U_\text{вых}(s) &= H(s)U_\text{вх}(s) = \frac{0.5
\cdot 15.9}{s^2(s+1)(s^2+s+1)} = \\
=&\left(\frac{A_1}{s^2} + \frac{A_2}{s}+ \frac{A_3}{s+1}+
\frac{A_4}{s+0.5-j0.865} + \frac{A_5}{s+0.5+j0.865} \right)\left(1
- e^{-6.28s} - e^{-18.8s}+ e^{-25.1s}\right)
\end{split}
\label{d1:+3}\\
A_1 = \left.U_\text{вых}(s)s^2\right|_{s=0} = 7.96\\
A_3 = \left.U_\text{вых}(s)(s+1)\right|_{s=-1} = 7.96\\
A_4 = \left.U_\text{вых}(s)(s+0.5-j0.865)\right|_{s=-0.5-j0.865} =
4.6e^{-j30^{\circ}} \\
A_5 = \stackrel{*}{A_4} = 4.6e^{j30^{\circ}}
\end{gather}

По методу неопределенных коэффициентов, используя коэффициенты при
$s^3$ получаем:

\begin{gather}
A_1+A_2+A_3 = 0 \Rightarrow A_2 = -15.9 \\
\begin{split}
\ergo{d1:+3} &U_\text{вых}(s) \risingdotseq u_\text{вых}(t) =
\left(7.96t-15.9+7.96e^{-t}+9.2e^{-0.5t}\cos{(0.865t - 30^{\circ})}\right) \delta_1(t)-\\
-&\left(7.96(t-6.28)-15.9+7.96e^{-(t-6.28)}+9.2e^{-0.5(t-6.28)}\cos{(0.865(t-6.28) - 30^{\circ})}\right) \delta_1(t-6.28)-\\
-&\left(7.96(t-18.8)-15.9+7.96e^{-(t-18.8)}+9.2e^{-0.5(t-18.8)}\cos{(0.865(t-18.8) - 30^{\circ})}\right) \delta_1(t-18.8)+\\
+&\left(7.96(t-25.2)-15.9+7.96e^{-(t-25.2)}+9.2e^{-0.5(t-25.2)}\cos{(0.865(t-25.2) - 30^{\circ})}\right) \delta_1(t-25.2)\\
\end{split}
\end{gather}

График $u_\text{вых}(t)$ и измененного в $A(0) = 0.5$ раз
воздействия приведен на рисунке \ref{img:7}.

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=16cm,height=8cm]{kurs_37}
\caption{Графики реакции и измененного в $A(0)$ раз воздействия.}
\label{img:7}
\end{figure}

Из рисунка \ref{img:7} видно, что время запаздывания составляет 2
с. Выводы, сделанные в пункте \ref{chtext+1} (на стр.
\pageref{chtext+1}) были верными. \label{chtext+2}

\section{Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия}

\begin{gather}
\ergo{d1:+2} U_\text{вх}(j\omega) = \left. U_\text{вх}(s)
\right|_{s=j\omega} = \frac{63.7}{\omega^2} \sin{(\pi\omega)}
\sin{(3\pi\omega)}e^{-j4\pi\omega} \label{spin:+1}\\
\ergo{spin:+1} A(\omega) = |H(j\omega)| =
\frac{63.7}{\omega^2} \sin{(\pi\omega)} \sin{(3\pi\omega)} \label{spin:+2}\\
A(0) = 1890 \\
A(\omega) = 0 \Leftrightarrow \sin{(\pi\omega)} = 0 \text{ или } \sin{(3\pi\omega)} = 0 \notag\\
\omega_k = k \text{ или } \omega_k = \frac{k}{3} \Rightarrow
\omega_k = \frac{k}{3}\\
\ergo{spin:+1} \Phi(\omega) = \arg{H(j \omega)} = -4\pi\omega
\label{spin:+3}
\end{gather}

Графики амплитудного и фазовых спектров приведены на рисунках
\ref{img:8} и \ref{img:9}.

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=15cm,height=9cm]{kurs_38}
\caption{Амплитудный спектр входного сигнала.} \label{img:8}
\end{figure}

\newpage
\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=16cm,height=8cm]{kurs_39}
\caption{Фазовый спектр входного сигнала.} \label{img:9}
\end{figure}


Из рисунка \ref{img:8} следует (по 10\% критерию), что полоса
пропускания цепи совпадает с шириной спектра. Таким образом сигнал
пройдет с небольшими искажениями. Площадь выходного сигнала
$S_\text{вых}$ равна:

\begin{gather}
\ergo{ch:+2} S_\text{вых} = S_\text{вх} A(0) = 0.5 S_\text{вх}\\
\ergo{h1:+3} U_\text{вых} (0+)= U_\text{вх} (0+) A(\infty) = 0
\end{gather}

То есть сигнал на выходе будет непрерывным и его площадь будет
составлять половину от площади входного сигнала, что подтверждает
данные пункта \ref{chtext+2} на стр. \pageref{chtext+2}.

%\begin{tabular}{|c|c|c|}
%\hline
%$\omega$ & $A(\omega)$ & $\Phi(\omega)$\\
%\hline

%0 & 150 & 0\\
%\hline

%0.167 & 91.0 & $-120^{\circ}$\\
%\hline

%0.333 & 0 & $120^{\circ}$\\
%\hline

%0.5 & 20.3 & $-180^{\circ}$\\
%\hline

%0.667 & 0 & $-120^{\circ}$\\
%\hline

%0.834 & 3.63 & $120^{\circ}$\\
%\hline
%\end{tabular}

\section{Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе}

\begin{gather}
U_\text{вых}(j \omega) = H(j\omega) U_\text{вх}(j\omega)\\
A_\text{вых}(j \omega) = \text{АЧХ}(j\omega) A_\text{вх}(j\omega)\label{sp:+1}\\
\Phi_\text{вых}(j \omega) = \text{ФЧХ}(j\omega) +
\Phi_\text{вх}(j\omega)\label{sp:+2}
\end{gather}

$\Delta \omega$ определяем по первому лепестку и разбиваем на
четыре интервала: $\Delta \omega = 0.083$. Результаты расчета по
\eqref{spin:+2}, \eqref{spin:+3}, \eqref{sp:+1} и \eqref{sp:+2}
сведены в таблицу \ref{tabl1}.

\ctbl Значения амплитудных и фазовых спектров воздействия и
реакции. \label{tabl1}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline

$\omega$ & $A_\text{вх}$ & $\Phi_\text{вх}$ & АЧХ & ФЧХ &
$A_\text{вых}$ & $\Phi_\text{вых}$ \\
\hline

0 & 1890 & 0 & 0.5 & 0 & 945 & $0^{\circ}$ \\
\hline

0.083 & 1680 & $-60^{\circ}$&0.5&$-10^{\circ}$&840& $-70^{\circ}$\\
\hline

0.166 & 1150 & $-120^{\circ}$&0.5&$-19^{\circ}$&575& $-139^{\circ}$\\
\hline

0.249 & 517 & $-180^{\circ}$&0.5&$-29^{\circ}$&208.5& $-209^{\circ}$\\
\hline

0.333 & 0 & $120^{\circ}$&0.5&$-39^{\circ}$&0& $81^{\circ}$\\
\hline
\end{tabular}

Графики амплитудного и фазового спектра выходного сигнала
приведены на рисунках \ref{img:10} и \ref{img:11}
\newpage

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=18cm,height=8cm]{kurs_317}
\caption{Амплитудный спектр выходного сигнала.} \label{img:10}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=18cm,height=8cm]{kurs_310}
\caption{Фазовый спектр выходного сигнала.} \label{img:11}
\end{figure}

\section{Определение спектра периодического входного сигнала}

\begin{gather}
\omega_1 = \frac{2\pi}{T} = 0.25\\
\ergo{spin:+1}\dot{A_k} = \left. \frac{2}{T}
U_\text{вх}(s)\right|_{s=j0.25k} = \frac{63.7}{4\pi\cdot0.25^2
k^2}
\sin{(0.25k\pi)}\sin{(0.75k\pi)}e^{-jk\pi}\\
A_k = |\dot{A_k}| =
\frac{81.1}{k^2}\sin{(0.25k\pi)}\sin{(0.75k\pi)} \label{sppin:+1}\\
\Phi_k = -k\pi \label{sppin:+2}
\end{gather}

Результаты расчета по \eqref{sppin:+1} и \eqref{sppin:+2} сведены
в таблицу \ref{tabl2}.\\[2cm]

\ctbl Дискретные амплитудный и фазовый спектры входного сигнала.
\label{tabl2}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline

$k$ & $\omega_k$ & $A_k$ & $\Phi_k$\\
\hline

0 & 0 & 150 & $0^{\circ}$ \\
\hline

1 & 0.25 & 40.5 & $-180^{\circ}$ \\
\hline

2 & 0.5 & 20.3 & $-180^{\circ}$ \\
\hline

3 & 0.75 & 4.51 & $-180^{\circ}$ \\
\hline
\end{tabular}


Графики дискретных амплитудного и фазового спектров входного
сигнала приведены на рисунках \ref{img:12} и \ref{img:13}.

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=11cm,height=8cm]{kurs_311}
\caption{Дискретный амплитудный спектр входного сигнала.}
\label{img:12}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=11cm,height=6cm]{kurs_316}
\caption{Дискретный фазовый спектр входного сигнала.}
\label{img:13}
\end{figure}


То есть, записав в виде ряда Фурье (рисунок \ref{img:14}):

\begin{gather}
\tilde{u}_\text{вх} (t)= 75 + 40.5\cos{(0.25t-180^{\circ})}+
20.3\cos{(0.5t-180^{\circ})}+4.51\cos{(0.75t-180^{\circ})}
\end{gather}



\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=12cm,height=9cm]{kurs_312}
\caption{Входной сигнал и его аппроксимация рядом Фурье.}
\label{img:14}
\end{figure}


\section{Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии}

\begin{gather}
\dot{A}_{k_\text{вых}}(j \omega) = \left. H(j\omega) \right|_{\omega=k\omega_1}
\dot{A}_{k_\text{вх}}(j \omega)\\
{A}_{k_\text{вых}}(j \omega) = \text{АЧХ}(jk\omega_1) {A}_{k_\text{вх}}(j k\omega_1)\label{spou:+1}\\
\Phi_{k_\text{вых}}(j k\omega_1) = \text{ФЧХ}(jk\omega_1) +
\Phi_{k_\text{вх}}(j k\omega_1)\label{spou:+2}
\end{gather}

Результаты расчета по \eqref{spou:+1} и \eqref{spou:+2} сведены в
таблицу \ref{tabl3}.\\[2cm]


\ctbl Дискретные амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.
\label{tabl3}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline

$k$ & $\omega_k$ & $A_{k_{\text{вх}}}$ & $\Phi_{k_\text{вх}}$ &
АЧХ & ФЧХ & $A_{k_{\text{вых}}}$
& $\Phi_{k_\text{вх}}$\\
\hline

0 & 0 & 150 & $0^{\circ}$ & 0.5 & $0^{\circ}$ &75&$0^{\circ}$\\
\hline

1 & 0.25 & 40.5 & $-180^{\circ}$ & 0.5&$-29^{\circ}$&20.25&$-209^{\circ}$\\
\hline

2 & 0.5 & 20.3 & $-180^{\circ}$ & 0.496 &$-60^{\circ}$&10.069&$-240^{\circ}$\\
\hline

3 & 0.75 & 4.51 & $-180^{\circ}$ & 0.461 & $-96^{\circ}$&2.068&$-276^{\circ}$\\
\hline
\end{tabular}

Графики дискретных амплитудного и фазового спектров выходного
сигнала приведены на рисунках \ref{img:15} и \ref{img:16}.

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=9cm,height=8cm]{kurs_314}
\caption{Дискретный амплитудный спектр выходного сигнала.}
\label{img:15}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=11cm,height=6cm]{kurs_315}
\caption{Дискретный фазовый спектр выходного сигнала.}
\label{img:16}
\end{figure}


То есть, записав в виде ряда Фурье (рисунок \ref{img:17}):

\begin{gather}
\tilde{u}_\text{вх} (t)= 37.5 + 20.25\cos{(0.25t-209^{\circ})}+
10.069\cos{(0.5t-240^{\circ})}+2.068\cos{(0.75t-276^{\circ})}
\end{gather}

\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics[width=13cm,height=7cm]{kurs_313}
\caption{Входной сигнал, измененный в $A(0)$ раз, и аппроксимация
выходного сигнала рядом Фурье.} \label{img:17}
\end{figure}

Из рисунка можно видеть, что входной сигнал проходит с небольшими
искажениями, причем время запаздывания $t_\text{з}=2$. Полученный
результат подтверждает сделанные ранее выводы.
\section{Заключение}

В результате выполнения курсовой работы было исследовано влияние
фильтра нижних частот на входной сигнал. После использования
различных методов расчета электрических цепей и их сравнения
удалось установить:

\begin{enumerate}
\item Полоса пропускания заданного фильтра нижних частот
составляет интервал от 0 до 1.

\item Сигнал на выходе имеет небольшие искажения и измененную в
0.5 раз амплитуду и площадь.

\item Сигнал на выходе имеет время запаздывания, которое равно 2.
\end{enumerate}
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{nob1} Курсовое проектирование по теории электрических
цепей: Учебное пособие для самостоятельной работы студентов. Под
ред. Ю.~А.~Бычкова, Э.~П.~Чернышева; ГЭТУ, СПб., 1996 г.
\bibitem{nob2} Матханов~П.~Н. Основы анализа электрических цепей.
Линейные цепи. М.: Высш. шк., 1990.
\bibitem{nob3} Практикум по теории цепей. Под ред. Ю.~А.~Бычкова,
Э.~П.~Чернышева; СПбГЭТУ. СПб., 1998.
\end{thebibliography}

\end{document}