Исходные данные и формулировка задания.
L
R0
I
R1
C
R2
Рисунок 1. Исходная схема
Исходные данные: схема представлена на рисунке 1.
Таблица 1.
|
I, A |
R0, Ом |
R1, Ом |
R2, Ом |
L, Гн |
C, мкФ |
искомая величина |
|
10 |
40 |
20 |
40 |
1 |
1 |
|
Задание.
Определить функцию изменения искомой величины, не являющейся переменной состояния во время переходного процесса классическим методом.
Построить график переходного процесса на интервале времени
Определить функцию изменения искомой величины во время переходного процесса операторным методом.
Приведём
схему на рис.1
к виду на рис.2 , где 
.
L
R0
R2
C
Е
R1
Рисунок 2. Исходная схема (после преобразований)
1 Анализ переходных процессов в линейных цепях второго порядка классическим методом
1. Расчет начальных и установившихся реакций цепи. Формулировка начальных условий.
1.1 Расчет тока и напряжения в схеме до коммутации
Учитывая, что для постоянного тока ёмкостной элемент представляет собой разрыв, а индуктивный - короткое замыкание ветви, получаем эквивалентную схему (рисунок 3) для момента времени t = -0.
iL (-0)
1
R0
R2
i (-0)
Е
Uc(-0)
UR1 (-0)
R1
0
Рисунок 3. Эквивалентная схема для момента времени t = -0
Ток iС (-0)= 0, так как в ветви с ёмкостью постоянный ток не проходит. Напряжение UL(-0)=0, так как падения напряжения на индуктивности при постоянном токе нет. Тогда
Расчет производился в программе MathCAD 11 (см. Приложение №1)
1.2 Формулировка начальных условий
Определение независимых начальных условий базируется на законах коммутации, в соответствии с которыми ток в катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе скачком изменяться не могут. Таким образом, в момент коммутации t = + 0 величины тока индуктивности и напряжения емкости равны соответственно их величинам в момент непосредственно предшествующий коммутации t = -0:
-
независимые начальные условия
Все остальные токи и напряжения, являясь зависимыми начальными условиями, в момент коммутации могут изменяться скачком. Они определяются из уравнений, составленных по законам Кирхгофа, для схемы после коммутации при t = + 0 (рисунок 4) с учетом найденных ранее iL(+0) и Uc(+0).
L
1
iL (+0)
R2
iС
(+0)
iR2 (+0)
Е
I k
II k
C
R1
UR1 (+0)
2
Рисунок 4. Эквивалентная схема для момента времени t = +0
ЗНК для 1 контура: UL(+0) + Uc(+0) +iL(+0)·Rl =Е
ЗНК для 2 контура: - Uc(+0) +iR2(+0)·R2 = 0
ЗТК для 1 узла: iL(+0) = ic(+0) + iR2(+0)
Определим
iс(+0) = iL(+0) - iR2(+0)= -2 A
UL(+0) = Е - Uc(+0) - iL(+0)·Rl = 0 B
UR1(+0) = iL(+0)·Rl = 40 B
Расчет производился в программе MathCAD 11 (см. Приложение №2)
1.3 Расчет установившихся реакций в цепи после коммутации
Этот расчет проводится аналогично пункту 1.1, схема в данном случае рассматривается после завершения переходного процесса (рисунок 5).
iL (∞)
1
R2
Е
Uc(∞)
R1
UR1 (∞)
0
Рисунок 5. Схема после завершения переходного процесса
Расчет производился в программе MathCAD 11 (см. Приложение №3)
По результатам расчетов, проделанных в пункте 1, построим таблицу.
Таблица 2.
|
Момент времени Искомая величина |
t = -0 |
t = +0 |
t = ∞ |
|
iL(t), A |
2 |
2 |
3.33 |
|
Uc(t), В |
160 |
160 |
133.33 |
|
UR1(t), B |
40 |
40 |
66.66 |
|
ic(t), A |
0 |
-2 |
0 |
|
UL(t), B |
0 |
0 |
0 |