РГР Анализ линейной электрической цепи постоянного тока / ргр

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПОТОЯННОГО ТОКА.

1

R₃

R₁

E₃

R₄

R₅

Рисунок 1. Исходная схема.

1.1. Исходные данные: схема представлена на рисунке 1.

R₁=1100 Ом, R₂=250 Ом, R₃=18 Ом, R₄=720 Ом, R₅=24 Ом, E₃=10 В, E₅=5 В, J₆=1 А.

1.2. Задание.

1. Нарисовать граф цепи, составить и решить систему уравнений по законам Кирхгофа.

2. Проверить решение, составив баланс мощности.

3. Составить и решить систему по методу контурных токов.

4. Составить и решить систему по методу узловых напряжений.

5. Определить токи во всех ветвях методом наложения.

6. Определить ток первой ветви методом эквивалентного генератора.

7. Построить потенциальную диаграмму внешнего контура, определив потенциал каждой его точки.

1.3. Предварительные преобразования.

1). Выберем условно положительные направления токов в ветвях, обозначим их на схеме.

i₃

i₁

R₁

i₂

i₆

R₅

i₈

Рисунок 2. Расчётная схема.

Лист

3

2). Построим граф схемы (по рисунку 2), выделим дерево графа, обозначим на графе главные сечения и главные контуры (рисунок 3).

3

3

1

J₆

4

6

1

II_к

3

5

Рисунок 3. Граф схемы.

3). Выделим дерево графа. Пусть Дерево графа данной схемы проходит через ветви с индексами 1, 2, 4 – ветви дерева, а ветви с индексами 3, 5, 6 – ветви связи.

4). Число главных контуров определяем по выражению N_y-1-N_J=4-1-1=2,

где N_y – число узлов в схеме, N_J – число вырожденных источников тока в схеме.

По ветви связи 3 образуется I_к, по ветви связи 5 образуется II_к, по ветви связи 6 – контур J₆.

5). Число главных сечений определяется по выражению N_в-N_y+1=6-4+1=3,

где N_в – число ветвей схемы.

По ветви 1 проходит сечение 1-1, по ветви дерева 2 – сечение 3-3, по ветви 4 – сечение 2-2.

2. Определение токов методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

E₃

i₃

i₁

R₁

I_к

i₂

R₄

i₆

II_к

E₅

R₅

Рисунок 4. Расчётная схема.

Лист

4

2.1. Используя граф схемы, запишем уравнения, составленный по ЗНК для главных контуров:

ЗНК I_к: i₂R₂+i₃R₃+i₄R₄=E₃;

ЗНК II_к: i₁R₁+i₅R₅+i₄R₄+ i₂R₂=E₅.

2.2. Используя граф схемы, запишем уравнения, составленные по ЗТК для главных сечений:

ЗТК 1-1: -i₁+i₅=-J₆;

ЗТК 2-2: -i₃+i₄-i₅=0;

ЗТК 3-3: -i₂+i₃+i₅=-J₆.

2.3. Используя уравнения, составленные по ЗНК и ЗТК, запишем систему уравнений относительно неизвестных токов.

Решив данную систему относительно искомых токов в программе MathCad (см. приложение, №2), получим следующие значения: i₁=0.028 А, i₂=0.739 А, i₃=0.711 А, i₄=-0.261 А,

i₅=-0.972 А.

3. Проверка решения составлением баланса мощности.

Подставим в формулу найденные значения токов.

(см. приложение, №4)

4. Определение токов ветвей схемы методом контурных токов.

1

3

2

J₆

4

6

I₂₂

5

Рисунок 5. Расчётная схема для МКТ.

Лист

5

4.1. Выделим на схеме контуры, по которым будут протекать контурные токи (рисунок 5).

4.2. Используя введённые обозначения контурных токов, запишем систему из двух уравнений по ЗНК для контуров I₁₁ и I₂₂ (рисунок 5) через контурные токи. Уравнение для контура J₆ исключаем, т.к. ток в нём известен, учитываем только его влияние на остальные контурные токи.

В итоге получим следующую систему уравнений:

Подставим в систему значения сопротивлений.

Решив данную систему относительно контурных токов (см. приложение, №3), получим значения: I₁₁=0.711 А и I₂₂= -0.972 А.

4.3. Определим токи ветвей через контурные токи:

i₁=J₆+I₂₂;

i₂=I₁₁+I₂₂+J₆;

i₃= I₁₁;

i₄= I₁₁+I₂₂;

i₅=I₂₂.

И получим следующие значения (см. приложение, №3):

i₁=0.028 A;

i₂=0.739 A;

i₃=0.711 A;

i₄=-0.261 A;

i₅=-0.972 A.

5. Определение токов ветвей схемы методом узловых напряжений.

U₁₀

3

2

U₂₀

4

6

5

Рисунок 6. Расчётная схема для метода узловых напряжений.

Лист

6

5.1. Примем потенциал точки “0” за нулевой, т.е. ₀=0.

5.2. Обозначим потенциалы остальных узлов (1, 2, 3) через узловые напряжения U₁₀, U₂₀, U₃₀ соответственно (рисунок 6).

5.3. Запишем систему уравнений по ЗТК через узловые напряжения.

Подставим в систему значения сопротивлений.

Рассчитанные значения узловых напряжений:

U₁₀=-31.121 В, U₂₀=184.845 В, U₃₀=-2.8 В. (см. приложение, №4)

5.4. Определим токи ветвей, используя законы Ома и Кирхгофа.

Получим следующие значения токов:

i₁=0.028 A;

i₂=0.739 A;

i₃=0.711 A;

i₄=-0.261 A;

i₅=-0.972 A.

(см. приложение, №4)

Лист

7

6. Определение токов ветвей схемы методом наложения.

R₃

i₃

i₁

i₆

i₄

Рисунок 7. Расчётная схема для метода наложения.

6

R₂

R₁

R₃

R₅

R₄

J₆

U_R3

U_R4

U_R2

i₅₁

i₄₁

i₂₁

i₁₁

.

Рисунок 8. Схема цепи при действии источника J₆

Преобразуем треугольник сопротивлений R_2, R_4, R₃ в эквивалентную звезду с сопротивлениями R_24λ, R_23λ, R_43λ (рисунок 9).

Лист

8

R_23λ

i₁₁

R_24λ

U_R3

i₅₁

R₅

Рисунок 9. Преобразованная схема

Определим токи.

Используя свойство эквивалентных преобразований "треугольник-звезда", оп­ределим оставшиеся токи.

(см. приложение, №5.1)

Лист

9

6.2 Определим частичные токи в ветвях при действии источника Е₃. Для этого размыкаем ветви, содержащие источники тока, и закорачиваем ветви, содержащие источники ЭДС, оставляя в схеме только рассматриваемый источник. Схема цепи при действии источника Е₃

представлена на рисунке 10. Для удобства расчёта преобразуем данную схему к виду, изображенному на рисунке 11.

i₃₂

О

Е₃

Определим ток в неразветвлённой

части цепи.

Рисунок 10.

О

Е₃

(см. приложение, №5.2)

Рисунок 11.

Лист

10

6.3 Определим частичные токи в ветвях при действии источника Е₅. Для этого размыкаем ветви, содержащие источники тока, и закорачиваем ветви, содержащие источники ЭДС, оставляя в схеме только рассматриваемый источник. Схема цепи при действии источника Е₅

п

i₃₃

Определим сопротивление цепи относительно зажимов источника Е₅ (рисунок 13).

Е₅

Определим ток в неразветвлённой

части цепи.

Е₅

Определим частичные токи через параллельные

ветви схемы.

i₃₃

i₂₃

(см. приложение, №5.3)

i₁₃

Определим токи ветвей путём алгебраического

суммирования частичных токов.

i₅₃

Рисунок 13.

(см. приложение, №5.4)

Лист

11

7

i_3xx

R₃

i_4xx

II_к

Рисунок 14. Расчётная схема холостого хода относительно первой ветви.

7.1. Определение напряжения холостого хода относительно зажимов ветви искомого тока (рисунок 14).

E_эк=U_хх

ЗНК I_к: U_хх+i_5xxR₅-i_3ххR₃=E₅-E₃

U_хх=-i_5xxR₅+i_3ххR₃+E₅-E₃

i_5xx=-J₆

U_хх= J₆R₅+i_3ххR₃+E₅-E₃

ЗНК II_к: i_3хх(R₂+R₃)-i_4ххR₄=E₃

i_3хх=0.739 А (см. приложение, №6).

U_хх=32.3 В (см. приложение, №6).

7.2. Определение сопротивления генератора (рисунок 15).

R₃

R₅

R₂

R₄

Рисунок 15. Схема определения сопротивления генератора.

R₄

Рисунок 16. Эквивалентная схема определения сопротивления генератора.

Лист

12

R_экв=41.672 Ом (см. приложение, №6).

7.3. Определим искомый ток по рисунку 17.

Рисунок 17. Схема определения искомого тока i₁.

i₁=0.028 A (см. приложение, №6).

8. Построение потенциальной диаграммы для внешнего контура схемы

(рисунок 18).

R₁

Рисунок 18. Внешний контур схемы.

8.1. За нулевой потенциал выбираем потенциал узла “0” ₀=0.

Проверка:

8.2. Потенциальная диаграмма предоставлена на миллиметровке (см. приложение, №7).

Лист

13

Приложение

№1. Исходные данные.

_{r1:=1100 r2:=250 r3:=18 r4:=720 r5:=24 E3:=10 E5:=5 J6:=1}

№2. Законы Кирхгофа.

_{i1k:=0.028 i2k:=0.739 i2k:=0.711 i4k:=-0.261 i5k:=-0.972}

№3. Метод контурных токов.

_{I11:=0.711 I22:=-0.972}

№4. Метод узловых напряжений.

_{U10:=-31.121 U20:=184.845 U30:=-2.8}

№4. Баланс мощности.

Лист

14

№5 Метод наложения.

1. При действии источника J6

2. При действии источника Е3

_i22:=i42

_{i52:=i82 i12:=i82}

3. При действии источника Е5

_{i13:=i83 i53:=i83}

_i33:=i73

_i23:=i43

4. Найдём токи путём алгебраического суммирования

_{i1н:=i11-i12+i13}

_{i2н:=i21+i22+i23}

_{i3н:=-i31+i32-i33}

_{i4н:=-i41+i42+i43}

_{i5н:=-i51-i52+i53}

_i6н:=J6

_{i7н:=-i71+i72-i73}

_{i8н:=-i81-i82+i83}

Лист

15

Замечания

Лист

17