24. Магнитное поле постоянного тока.

3. Открытие Эрстеда. 1820 Ханс Эрстед открыл действие электрического тока на магнитную стрелку. До сих пор физика знала лишь центральные силы. Провод же с током не притягивал и не отталкивал магнитной стрелки. Он лишь поворач её вокруг оси.

Открытие Эрстеда побудило многих учёных к интенсивным исследованиям, в которых можно выделить два направления:

а. Изучение действия магнитного поля на проводник с током – привели к открытию закона Ампера; б. Изучение действия проводников с током на магнитную стрелку – привели к открытию Био-Савара-Лапласа

4. Действие магнитного поля на ток.

Ампер экспериментировал с прямоугольными рамками, по которым пропускались известной величины токи. Поскольку одна рамка могла легко поворачиваться на оси, то можно было установить характер взаимодействия токов. Оказалось, что параллельные однонаправленные токи притягиваются, а противоположно направленные отталкиваются. Для количественного описания взаимодействия тока с магнитным полем потребовалось ввести модель элемента тока (как материальная точка, точечный заряд и др.). Элемент тока есть произведение тока I на вектор , имеющий длину бесконечно малого отрезка проводника dl и направленный по току.

. Формула Ампера, 1820. Вектор B называется магнитной индукцией и является основной хар-кой магн поля.

Если поле B однородно в пределах прямого провода длины l, то формула легко интегрируется и принимает вид: или F = IlBsin( ).

В в СИ – тесла (Тс). 1 Тл – это индукция такого магнитного поля, в котором на проводник длиной 1 м с током 1 А, расположенный перпендикулярно вектору В, действует сила 1 Н.

6. Магнитное поле элемента тока подробно изучали в Жан Био и Феликс Савар. Обработав их эксп материал, Пьер Лаплас установил, что индукция dB магнитного поля элемента тока в любой произвольной точке определяется формулой:

. Закон Био-Савара-Лаплас

Здесь r- радиус-вектор, проведённый от элемента тока в ту точку поля А (рис.74), где определяется индукция; μ ₀- размерный коэффициент пропорциональности, его называют магнитной постоянной. В системе единиц в СИ μ₀ = 4π10⁻⁷ Гн/м точно. Величина μ -магнитная проницаемость среды. Это безразмерное число, которое показывает, во сколько раз сила действия магнитного поля на проводник с током в данной среде больше силы действия в вакууме. В вакууме μ =1, в ферромагнитных средах μ>>1, в остальных μ 1.

Силовые линии поля элемента тока представляют собой окружности, центры которых лежат на прямой MN, проходящей вдоль элемента тока. Направление силовых линий задаётся направлением вектора индукции dB. На практике его можно определить по правилу правого винта: если поступательное движение винта совпадает с направлением элемента тока Idl, то вращение винта происходит вдоль по силовой линии.

С увеличением расстояния r от элемента тока до точки поля А индукция убывает пропорционально 1/r². Поэтому густота линий поля с увеличением r быстро падает.

Вдоль прямой MN, на которой находится элемент тока Idl, поле равно нулю. Угол  между векторами Idl и r в этом случае равен нулю, и .

Закон Ампера. Если в формулу силы Ампера вместо B подставить выражение индукции dB из закона Био-Савара-Лапласа, то получим формулу, определяющую силу dF взаимодействия двух элементарных токов. Присвоим элементу тока, создающему поле dB₁ индекс “1” , а элементу тока, испытывающему действие поля dB₂, индекс “2”. Тогда сила действия поля элемента тока I₁dl₁ на элемент тока I₂dl₂ определяется выражением.

. Закон Ампера для элементов тока Это основной закон электромагнетизма.

Если сравнить закон Ампера с законом Кулона для электрич зарядов, то можно увидеть как сходство, так и различие.

В законе Кулона характеристикой вещества является диэлектрическая проницаемость среды ε в законе Ампера – магнитная проницаемость среды μ. Величина силы взаимодействия между электрическими зарядами убывает с квадратом расстояния между ними. Так же убывает величина силы взаимодействия между элементами тока. В законе Кулона , в законе Ампера .

Сила Ампера в данном случае не является центральной.

Циркуляция вектора B. Вычислим циркуляцию вектора индукции B магнитного поля по контуру, охватывающему прямолинейный ток. Для простоты интегрир-я возьмём в качестве контура окружность радиуса R с центром на бесконечном проводе.

Проекция вектора B на касательную к окружности равна модулю , . Отсюда

.

Величина интеграла не изменяется, если контуром интегр-ия будет любая замкнутая кривая какой угодно конфигурации.

К огда контур охватывает несколько потоков, то благодаря суперпозиции полей в правой части будет сумма токов. Причём, каждый ток считается столько раз, сколько раз он охватывается контуром.

. Теорема о циркуляции или закон полного тока

Если направление тока совпадает с направлением обхода по правилу правого винта, ток берётся со знаком “+”, если не совпадает - со знаком “-”.

Теорема о циркуляции играет в электромагнетизме примерно такую же роль, как теорема Гаусса в электростатике. Она упрощает расчёт магнитных полей при наличии симметрии токов.

Пример 13.1. Магнитное поле внутри прямолинейного цилиндрического провода радиусом , Пусть по прямому цилиндрическому проводу радиусом течёт постоянный ток . Плотность тока полагаем во всех точках одинаковой и равной j = IS, где S = πR²- площадь сечения провода. Вычислим индукцию магнитного поля внутри провода на расстоянии от его оси (рис.84).

В оспользуемся законом полного тока. Вычислим циркуляцию вектора индукции B по окружности радиуса r. Из осевой симметрии тока следует, что индукция поля во всех точках окружности одинакова и равна B. Циркуляция вектора B по окружности радиуса r равна B2πR.

По закону полного тока она пропорциональна току внутри этой окружности.

. Отсюда .

Здесь μ₁- магнитная проницаемость вещества провода. Индукция поля вне прямого бесконечного провода с током I определена в примере 12.1. Общее выражение для модуля индукции B поля прямого бесконечного тока запишет в виде:

(1)Индукция магнитного поля максимальна на поверхности проводника. В центре проводника и на бесконечности от него индукция равна нулю (рис.85).

При использовании закона полного тока находится лишь модуль вектора B. Направление вектора B определяется из геометрии тока.

Пример 13.3. Поле внутри прямого бесконечного соленоида. Соленоидом называют катушку в виде намотанного на цилиндрическую поверхность изолированного провода, по которому течёт ток I (рис.87).

Найдём индукцию поля внутри бесконечного соленоида. Для этого воспользуемся законом полного тока.

В качестве замкнутого контура для вычисления циркуляции B возьмём прямоугольник ABCD, сторона АВ которого длиной l находится внутри соленоида и параллельна его оси ОО, а сторона CD бесконечно удалена. Из соображений симметрии следует, что вектор B внутри соленоида параллелен его оси. Поэтому вклад в циркуляцию участка АВ равен Bl. Участки ВС и DA перпендикулярны вектору B. Их вклад в циркуляцию равен нулю. Сторона CD бесконечно удалена от соленоида. Поскольку поле каждого отдельного тока убывает с расстоянием, то на бесконечности оно равно нулю.

Если - число витков соленоида, приходящееся на отрезок его длины, то закон полного тока принимает вид: , .Здесь N₀- число витков, приходящееся на единицу длины соленоида.