15. Методика изучения темы «Представление информации».

Тема определена для изучения в 7 классе в рамках раздела «Информация. Представление информации».

Основные цели. Раскрыть понятие системы счисления. Познакомить учеников со способами представления чисел в позиционных системах счисления. Дать представление об использовании двоичной системы в компьютере.

Изучаемые вопросы:

1. Позиционные и непозиционные системы счисления.

2. Основные понятия позиционных систем: основание алфавит.

3. Развернутая форма представления чисел в позиционных системах.

4. Перевод чисел из одной системы в другую.

5. Особенности двоичной арифметики.

6. Связь между двоичной и шестнадцатеричной системами.

Необходимость изучения темы в курсе информатики связана с тем, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы.

Ученики 7 или 8 класса, знакомы с записью чисел как римскими, так и арабскими цифрами. Они привыкли видеть римские цифры в обозначении глав в книге, в указании столетии (XX век) и в некоторых других нумерациях. Математические расчеты они всегда производили в арабской системе чисел. С методической точки зрения бывает очень эффективный прием, когда учитель подводит учеников к самостоятельному открытию. В данном случае желательно, чтобы ученики сами подошли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципами записи чисел. Сделать это можно, отталкиваясь от конкретного примера: на доске изображаются следующие числа XXX и 333.

Первое - римское «тридцать», второе - арабское «триста тридцать три». Задается вопрос: «Чем отличаются принципы записи многозначных чисел римскими и арабскими цифрами?» Если учащиеся отвечают не сразу, то, указывая на отдельные цифры римского числа, спрашивают:

- Что (какое количество) обозначает эта цифра?

Следует ответ:

- Десять.

- А эта цифра?

- Десять.

- А эта?

- Десять.

- Как получается значение данного трехзначного числа?

- Десять прибавить десять, прибавить десять, получается тридцать.

А теперь переходим к числу 333. Снова задаем вопросы:

- Какое количество в записи числа обозначает первая цифра справа?

- Три единицы.

- А вторая цифра?

- Три десятка.

- А третья цифра?

- Три сотни.

- А как получается общее значение числа?

- К трем единицам прибавить три десятка и прибавить три сотни получится триста тридцать три.

Из сравнения записи чисел следуют правила: в римском способе записи чисел значение, которое несет каждая цифра в числе, не зависит от позиции этой цифры. В арабском же способе значение зависит не только от того, какая это цифра, но и от позиции, которую она занимает в числе. Сделав ударение на слове «позиция», учитель сообщает, что римский способ записи чисел называется непозиционным, а арабский - позиционным.

После этого можно ввести термин «система счисления»

Система счисления - это определенный способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

Римский способ записи чисел является примером непозиционной системы счисления, а арабский - это позиционная система счисления.

Следует подчеркнуть связь между способом записи чисел и приемами арифметических вычислений в соответствующей системе счисления. Следует предложить ученикам выполнить умножение, например, числа сто тридцать четыре на семьдесят шесть, используя римскую и арабскую системы счислений. С арабскими числами они легко справятся, а также смогут убедиться, что римские цифры - не помощники в вычислениях.

Необходимо дать понять ученикам, что позиционных систем счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом - множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр) называется основанием системы счисления. Следует задать вопрос: «Почему арабская система называется десятичной системой счисления?» Делается вывод: основание арабской системы счисления равно десяти, поэтому она называется десятичной.

Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления. В системах с основаниями, не большими 10 используются только арабские цифры. Если же основание больше 10, то в роли цифр выступают также латинские буквы в алфавитном порядке (шестнадцатеричная система).

Нужно научить учеников записывать натуральный ряд чисел в различных позиционных системах. Объяснение следует проводить на примере десятичной системы, для которой вид натурального ряда чисел им хорошо известен: 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 ... 19 20 ... 99 100 101 ... По такому же принципу строится натуральный ряд и в других системах счисления. Например, в четверичной системе (с основанием 4):

1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100 101 102 103 110 111 ...

Аналогично и для других систем. Наибольший интерес представляет натуральный ряд двоичных чисел:

1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 и так далее. Следует обратить внимание учеников на быстрый рост количества цифр в числе. Для указания на основание системы, к которой относится число, вводим индексное обозначение. Еще одно важное замечание: ни в коем случае нельзя называть недесятичные числа так же, как десяти­чные. Например, нельзя называть восьмеричное число 36₈ как тридцать шесть! Надо говорить: «Три-шесть». Или, нельзя читать 101₂ как «сто один». Надо говорить «один-ноль-один».

Сущность позиционного представления чисел отражается в развернутой записи числа. Для объяснения привлекают десятеричную систему.

5312, 5=5000+300+10+2+0,

5312.5=5х10³+3х10²+1х10¹+2х10⁰+5х10^-1.

Аналогично можно получить развернутую схему чисел в других системах счисления.

Объяснение способов перевода следует начать с перевода в десятичную систему чисел из других систем счисления. Делается это просто: нужно перейти к записи развернутой формы числа в десятичной системе. Вот пример такого перехода для приведенного выше восьмеричного числа:

1753₈= (1x10³+ 7x10²+5x10¹+ 3)₈ =(1х8³ + 7х8²+5х8¹+3)₁₀. Теперь нужно вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики и получить окончательный результат:

1753₈ = (512 + 448 + 40 + 3) ₁₀ = 1003₁₀.

Чаще всего развернутую форму числа сразу записывают в десятичной системе:

101101,1₂ = (1х2⁵+0х2⁴+1х2³+1х2²+ 0x2¹+l+lx2^-1 )₁₀=32+8+4+1+0,5=45,5₁₀.

Для вычисления значения числа по его развернутой форме записи существует удобный прием, который называется вычислительной схемой Горнера. Суть его состоит в том, что Развернутая запись числа преобразуется в эквивалентную форму с вложенными скобками. Например, для рассмотренного выше восьмеричного числа это выглядит так:

1753₈ =(1х 8³+7х8²+5х8¹+3)₁₀ =((1х8+7)х8+5)х8+3

Применение двоичной системы счисления в ЭВМ может рассматриваться в двух аспектах:

1) двоичная нумерация;

2) двоичная арифметика, то есть выполнение арифметических вычислений над двоичными числами.

С двоичной нумерацией ученики встретятся в теме: «Тексты в компьютерной памяти». О двоичной нумерации можно говорить и при изучении темы «Как кодируется изображение». Практическая потребность знакомства с двоичной арифметикой возникает при изучении главы «Как работает процессор ЭВМ». В этом разделе рассказывается, как процессор ЭВМ выполняет арифметические вычисления.

Для выполнения арифметических операций над двоичными числами необходимо пользоваться следующими правилами:

0+0=0 0x0=0 0-0=0

1+0=1 1x0=0 1-0=1

1+1=10 1x1=1 10-1=1

Решаются простейшие задачи на сложение и вычитание, а также умножение двоичных однозначных и многозначных чисел.

Представление информации, хранящейся в компьютерной памяти, в ее истинном двоичном виде весьма громоздко из-за большого количества цифр. Для этих целей принято использовать восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления.

Существует простая связь между двоичным и шестнадцатеричным представлениями числа. При переводе числа из одной системы в другую одной шестнадцатеричной цифре соответствует четырехразрядный двоичный код. Это соответствие отражено в двоично-шестнадцатеричной таблице, приведенной в учебнике. Такая связь основана на том, что 16 = 2⁴, и число различных 4-х разрядных комбинаций из цифр 0 и 1 равно 16: от 0000 до 1111. Поэтому перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится путем формальной перекодировки. Принято считать, что если дано шестнадцатеричное представление внутренней информации, то это равносильно наличию двоичного представления. Преимущество шестнадцатеричного представления состоит в том, что оно в 4 раза короче двоичного. Желательно, чтобы ученики запомнили двоично-шестнадцатеричную таблицу.