Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 Общее понятие о графах.docx
Скачиваний:
24
Добавлен:
12.09.2019
Размер:
101 Кб
Скачать

3.2 Теорема о четырех красках

Проблема четырёх красок — математическая задача, предложенная Ф. Гутри в 1852 году, сформулированная следующим образом: «Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета».

К. Аппель и В. Хакен доказали в 1976 г., что так можно раскрасить любую карту. Это была первая крупная математическая теорема, для доказательства которой был применён компьютер. Несмотря на последующие упрощения, доказательство практически невозможно проверить, не используя компьютер. Поэтому некоторые математики отнеслись к этому доказательству с недоверием, что объяснялось не только использованием компьютера, но и громоздкостью описания алгоритма первых доказательств (741 страница); впоследствии были предложены более компактные алгоритмы и скорректирован ряд ошибок. Проблема четырёх красок является одним из известнейших прецедентов неклассического доказательства в современной математике.

Отметим самую известную интерпретацию проблемы о четырех красках. Пусть имеется географическая карта. Можно ли, используя только 4 краски, изобразить эту карту так, чтобы соседние страны (имеющие общую границу) были окрашены в разный цвет? Понятно, что в соответствующем графе вершинами являются страны, а смежными вершинами являются соседние страны. Ясно, что полученный граф является планарным, и после 1976 г. ответ на этот вопрос является положительным.

Новое доказательство, основанное на алгебраических и топологических методах, дал индийский математик Ашей Дарвадкер в 2000 году.

3.3 Раскраска плоских графов в соответствии с теоремой о четырех красках

Прежде чем решать задачу о раскраске вершин произвольного графа, рассмотрим раскраску простейших подграфов произвольного конечного, связного плоского графа без петель икратных ребер. Слово «простейший» это не характеристика подграфа и тем более не термин, оно указывает на упрощенную структуру подграфа.

Цепи и циклы.

Простой цепью называют чередующуюся последовательность элементов графа — вершин и ребер, в которой все вершины, а, следовательно, и ребра, различны. Если крайние вершины совпадают, то такую простую цепь называют простым циклом.

Поскольку далее речь пойдет о раскраске вершин плоского графа не более, чем четырьмя красками, обозначим их четырьмя символами α, β, γ, δ, соответственно, и назовем эту проблему задачей о четырёх красках.

Вершины простой цепи и простого цикла с четным числом вершин раскрашиваются не более, чем двумя красками. Вершины цикла с нечетным числом вершин раскрашиваются не более, чем тремя красками. Действительно, двумя красками можно раскрасить чётное число вершин цикла, а оставшаяся одна нераскрашенная вершина смежна двум вершинам, раскрашенным двумя разными красками и, следовательно, эта вершина не может быть раскрашена теми цветами, которые имеют смежные с ней вершины, а должна быть раскрашена третьим цветом.

Цепи и циклы с прилегающими ребрами.

Рассмотрим конечную простую цепь с n вершинами и соединим непересекающимися ребрами некоторые или все несмежные вершины. Назовем эти ребра прилегающими ребрами. Покажем, что число т ребер в такой цепи не более, чем 2п – 3.

Если n = 2, то т = 2 · 2 – 3 = 1. Предположим, что n = k – 1 и т ≤ 2(k – 1) – 3. Покажем, что, добавляя еще одну вершину k (при этом число ребер может увеличиться только на два), число ребер не превзойдет 2k – 3.

тk= тk-1 + 2 ≤ 2(k – 1) – 3 + 2 = 2k – 2 – 3 + 2 = 2k – 3.

Поэтому по индукции заключаем, что это неравенство выполняется для любых значений k и, в частности, для k = n т. е.

т ≤ 2k – 3, (*)

при этом равенство возможно, если построено максимальное число прилегающих ребер. Все вышеизложенное справедливо и для простых циклов с внешними или внутренними прилегающими ребрами. Прилегающие ребра располагаются с одной стороны для цепи, а для цикла вне или внутри него.

Можно убедиться в том, что все вершины любой цепи, и любого цикла с прилегающими ребрами раскрашиваются не более, чем тремя цветами. Действительно, пусть дана цепь или цикл с k вершинами — v1, v2, ..., vk.

Раскрасим вершину v1 в цвет α, вершину v2 — в цвет β, вершину v3 — в цвет γ, если (v1,_v3) прилегающее ребро.

Следующую вершину v4 можно раскрасить в цвет α, если вершины v1 и v4 несмежны, если же вершины v1 и v4 смежны — то в цвет β.

Вершину 5 можно раскрасить в цвет α, если нет прилегающего ребра (v1,_v5) или в цвет β, если (v1,_v5) прилегающее ребро и т. д.

Таким образом для очередной раскрашиваемой вершины всегда найдется один из трех цветов такой вершины, которая «прикрыта» одним из прилегающих ребер, концы которых несмежны раскрашиваемой вершины. Любые две смежные вершины в плоском графе соединяются любой непрерывной жордановой линией, и потому все ребра в плоском графе пересекаются только в вершинах графа.

Циклы с вершинами внутри.

Рассмотрим произвольный конечный цикл и точку внутри него, соединенную ребрами со всеми вершинами цикла. Такой граф может быть раскрашен не более, чем тремя цветами, если окружающий внутреннюю точку цикл является многоугольником, не обязательно выпуклым, с четным числом вершин, а ребра, соединяющие внутреннюю точку с вершинами, являются какими угодно непрерывными жордановыми линиями. В этом случае одной краской раскрашивается внутренняя вершина, а двумя — вершины многоугольника. Аналогично рассуждая, для раскраски произвольного многоугольника с нечетным числом вершин и внутренней точкой, соединённой ребрами со всеми вершинами, требуется уже четыре краски.