2.3 Матрица смежности

Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы. Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) — это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_ij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину. Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i-й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a_ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i-й вершины.

Свойства матрицы смежности:

• Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

• Матрица смежности полного графа Kn содержит единицы во всех своих элементах, кроме главной диагонали, на которой расположены нули.

• Матрица смежности пустого графа, не содержащего ни одного ребра, состоит из одних нулей.

• Матрица смежности неориентированного графа симметрична, а значит обладает действительными собственными значениями и ортогональным базисом из собственных векторов. Набор её собственных значений называется спектром графа, и является основным предметом изучения спектральной теории графов.

Два графа G₁ и G₂ с матрицами смежности A₁ и A₂ являются изоморфными если и только если существует перестановочная матрица P, такая что

PA₁P^-1 = A₂.

Из этого следует, что матрицы A₁ и A₂ подобны, а значит имеют равные наборы собственных значений, определители и характеристические многочлены. Однако обратное утверждение не всегда верно — два графа с подобными матрицами смежности могут быть неизоморфны.

Степени матрицы.

Если A — матрица смежности графа G, то матрица A_m обладает следующим свойством: элемент в i-й строке, j-м столбце равен числу путей из i-й вершины в j-ю, состоящих из ровно m ребер.

2.4 Матрица инцидентности

Матрица инцидентности — одна из форм представления графа, в которой указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро (дуга) и вершина). Столбцы матрицы соответствуют ребрам, строки — вершинам. Ненулевое значение в ячейке матрицы указывает связь между вершиной и ребром (их инцидентность).

В случае ориентированного графа каждому ребру <x,y> ставится в соответствие "-1" на позиции (x,y) и "1" на позиции (y,x); если связи между вершинами нет, то ставится в соответствие "0".

Матрица инцидентности не используется для графов с петлями, так как у петель одна вершина является и началом, и концом. В каждом столбце должны стоять две единицы, а все остальные символы - нули.

3 Методы раскраски графов

3.1 Теорема об оптимальной раскраске

Теорема об оптимальной раскраске звучит так: «Если граф G является r-хроматическим, то он может быть раскрашен с использованием r (или меньшего числа) красок с помощью следующей процедуры: сначала в один цвет окрашивается некоторое максимальное независимое множество S(G), затем окрашивается в следующий цвет множество S(X\S(G)) и так далее до тех пор, пока не будут раскрашены все вершины».

Доказательство теоремы. Тот факт, что такая раскраска, использующая только r цветов, всегда существует, может быть установлен следующим образом. Пусть существует раскраска в r цветов, такая, что одно или больше множеств, окрашенных в один и тот же цвет, не являются максимальными независимыми множествами в смысле, упомянутом выше. Перенумеруем цвета произвольным способом. Очевидно, что мы можем всегда покрасить в цвет 1 те вершины (пусть это множество V_i′), которые не были окрашены в этот цвет и которые образуют максимальное независимое множество вместе с множеством V_i всех вершин графа, уже окрашенных в цвет 1. Эта новая раскраска возможна потому, что никакая вершина из множества V_i′ не является смежной ни с какой вершиной из V_i′ и, следовательно, всякая вершина, которая смежна хотя бы с одной вершиной из V_i′, окрашена в цвет, отличный от цвета 1, и поэтому не затрагивается процедурой перемены цвета вершин из V_i′. Рассматривая теперь подграф (X − V_i′) и проводя с ним аналогичные манипуляции, мы окрасим в цвет 2 какое-то (новое) максимальное независимое множество и т. д.

С помощью процедуры, описанной в этой теореме можно получить раскраску с минимальным количеством цветов для данного графа. Такая раскраска называется оптимальной независимой раскраской.