1 Понятие графов

В математической теории графов и информатике граф — это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин (связей между вершинами).

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи — как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Многие структуры, представляющие практический интерес в математике и информатике, могут быть представлены графами.

Графы - наиболее легкий и примитивный путь описания различных процессов разной природы и назначения. Значительная часть задач связанных с теорией графов не имеет простых решений и относится к задачам полного перебора, NP-полным задачам, для которых на сегодняшний день не найдено способов укладывающихся в конечное, поддающееся описанию число действий, называемых полиноминальными алгоритмами.

Такими задачами являются: раскраска графов, нахождение гамильтоновых (обходящих все вершины по одному разу) путей в графе, разбиение графа на независимые подмножества и еще целый ряд задач с простой, не требующей специальных знаний формулировкой, но при всем при этом тривиального решения не имеющих.

Очевидно - самый простой и наглядный способ представления графов - изображение их на плоскости, представляя вершины точками, а ребра - линиями их соединяющими. Графы не есть понятие геометрическое, ни даже топологическое, хотя в отдельно взятых приложениях можно их трактовать и таким образом.

Теория графов на сегодняшний день представляет из себя в среднем большую, но несколько разрозненую теорию, теоремы в которой часто не следуют одна из другой, хотя нередко бывают и связны. Это неудивительно - хорошая часть задач как в рамках теории графов, так и в ее приложениях это скрытые эквиваленты - найденные позднее задач из которых они выведены, которым они сопоставлены.

Существуют направленые графы - каждому ребру которых сопоставляется взаимооднозначное направление, графы можно взвешивать - сопоставлять вершинам и ребрам свои значения, можно выделять в них и разделять их на подмножества и т.д. Каждое такое действие имеет смысл в конкретном, отдельном своем применении. Понятно - всякая наука, всякий человек неявно, в своей даже повседневной жизни так или иначе графы использовал, хотя дальше блок-схем в такой практике люди заходят редко.

2 Общие понятия теории графов. Понятия раскраски графов

2.1 Общие понятия теории графов

Графом, в общем случае, называются два множества, находящиеся между собой в некотором отношении: G=(V,Е), где V – множество вершин, Е – множество связей между ними . Вершины графа изображаются точками, а связи между ними – линиями произвольной конфигурации.

Связь неупорядоченной пары вершин называется ребром, упорядоченной- дугой. Граф, у которого все вершины соединены дугами называется ориентированным. Граф, у которого все вершины соединены ребрами называется неориентированным, если в графе присутствуют и ребра и дуги, то такой граф называется смешанным.

Две вершины называются смежными, если они определяют дугу (ребро), и две дуги называются смежными, если они имеют общую вершину. Вершина инцидентна дуге (ребру), если она является началом или концом этой дуги (ребра). Аналогично, дуга (ребро) инцидентна вершине, если она входит или выходит из этой вершины. Число дуг (ребер), инцидентных некоторой вершине, называют локальной степенью данной вершины.

Граф, в котором любая пара вершин соединена ребром, называется полным. Полный граф обычно обозначают через К_n (n – число вершин в графе).

Число ребер полного графа m=n*(n-1)/2. Полный подграф G`=(X`,U`) графа G=(Х,U), X`εX называется максимальным полным подграфом (МПП) или кликой , если этот подграф не содержится в большем (по числу вершин) полном подграфе.

Максимальный полный подграф, содержащий наибольшее число вершин из всех МПП графа называется наибольшим полным подграфом (НПП). Число вершин наибольшего полного подграфа называется плотностью графа – φ(G). Если две любые вершины подмножества X` графа G(Х,U), где X`εX не смежны, то подмножество X` называется внутренне устойчивым.

Подмножество ψ_i X графа G(Х,U) называется максимальным внутренне устойчивым подмножеством (МВУП), или независимым подмножеством (НП), если добавление к нему любой вершины x_jεХ делает его не внутренне устойчивым. Подмножество Y_i будет определяться как х_jεψ_i (Uх_j uψ_i =)

МВУП различаются по числу входящих в них элементов. МВУП, содержащее наибольшее число элементов (вершин), называют наибольшим (предельным). Мощность НВУП (число вершин наибольшего ВУП) называется числом внутренней устойчивости

h (G) = |mах ψ_i |, где ψ_iεψ, ψ-семейство всех МВУП.

Число внутренней устойчивости называет также неплотностью графа.

Задачи определения наибольших полных подграфов и НВУП являются дополнительными друг к другу. Наибольшему полному подгра­фу графа G=(Х,U) соответствует наибольшее ВУП в графе G=(Х,U), где U_полн\U, U_полн – множество ребер полного графа, построенного на n вершинах. Аналогичные рассуждения могут быть сделаны и для максимальных НП и МВУП.

Все эти задачи относятся к так называемым NP полным задачам, временная сложность которых экспоненциальна относительно входа (числа вершин или ребер графа).

Согласно классификации всех задач теории графов по их сложности, приведенной в основополагающей работе Э. Рейнгольда и других, задачи определения МВУП и МПП (нахождение клик) графа по сложности относятся к четвертому классу задач, для которых не существует и не может существовать точного полиноминального алгоритма, так как задачи этого класса обязательно экспоненциальные относительно входа. Задачи определения НПП и МВУП (наибольшей клики) относятся к третьему классу, для которого открытие полиноминального алгоритма возможно.

Граф называется плоским, если он нарисован на плоскости, причем любые 2 ребра могут пересекаться только в вершине.

Графы называются изоморфными, если существует такая нумерация вершин в этих графах, что они имеют одну и ту же матрицу смежности (фактически изоморфные графы – это одинаковые графы, которые отличаются только другим изображением).

Граф называется планарным, если он изоморфен плоскому графу. Таким образом, планарный граф можно изобразить на плоскости как плоский.