2. Взаимосвязь между компонентами и результатом ад.

Главное при изучении связи установить, какое АД надо выполнять над результатом и одним из компонентов, чтобы получить другой.

1. Связи являются теоретической основой некоторых приёмов вычисления.

Например: 72 : 24 = 3. На какое число нужно умножить 24, чтобы получить 72?

8 − 6 = 2. Какое число надо прибавить к 6, чтобы получилось 8?

2. Знание взаимосвязи служит основой для решения уравнений.

3. Знание взаимосвязи используется для проверки.

3. Изменение результата в зависимости от изменения компонентов.

Изменение результата в зависимости от изменения компонентов является: 1) теоретической основой некоторых вычислительных приёмов (в которых применяются приёмы быстрого счёта); 2) пропедевтикой темы «Функция».

Изучение этой темы ведётся по двум ступеням:

1. Наблюдение за качественным изменением:

а) если изменилось одно из слагаемых, то обязательно должна измениться и сумма;

б) если слагаемое увеличивается, то и сумма увеличится, а если слагаемое уменьшается, то и сумма уменьшится.

2. Наблюдение за количественным изменением результата в зависимости от изменения компонента: если слагаемое увеличивается на а-единиц, то и сумма увеличится на а-единиц и т.д.

4. Устные и письменные вычисления. Билет № 5

5. Методика устных вычислений. Организация устного счёта на уроках математики в начальных классах.

Методика устных вычислений

В методике различают устные и письменные вычисления. К устным относят приёмы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящиеся к ним приёмы вычислений для случаев за пределами 100 (например, приём для случая 900∙7 будет устным, так как он сводится к приёму для случая 9∙7). К письменным приёмам относятся приёмы для всех других случаев вычислений над числами, большими 100. Во 2 классе устный приём вычислений, а форма - письменная:

3

+

5

14 .

В начальных классах особое место занимает работа по формированию навыков устных вычислений, поскольку в течение всех лет обучения в начальных классах учащиеся должны не только сознательно усвоить приёмы устных вычислений, но и приобрести твёрдые вычислительные навыки. Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение. Они помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий (свойства действий, связь между результатами и компонентами действий, изменение результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов и др.). Устные вычисления помогают лучшему усвоению приёмов письменных вычислений, так как последние включают в себя элементы устных вычислений. Практическое значение их состоит в том, что быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно в тех случаях, когда письменно выполнить действия не представляется возможным, например: при различных технических расчётах у станка, в поле, при покупке и продаже и т.п. Устные вычисления способствуют развитию мышления учащихся, их сообразительности, математической зоркости и наблюдательности.

Виды упражнений для устных вычислений

Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения учащимися разнообразных упражнений. Рассмотрим основные их виды.

Нахождение значений математических выражений. Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов.

Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения. Например:

1. Найдите разность чисел 100 и 9.

2. Найдите значение выражения с – k, если с = 100, k = 9.

Выражения могут предлагаться в разной словесной форме: из 100 вычесть 9; 100 минус 9; уменьшаемое 100, вычитаемое 9, найти разность; найти разность чисел 100 и 9; уменьшить 100 на 9 и т.д. Эти формулировки использует не только учитель, но и ученики.

Выражения могут включать одно действие и более чем одно действие. Выражения с несколькими действиями могут включать действия одной ступени или разных ступеней, например: 47 + 24 – 56; 72 : 12 ∙ 9; 400 – 70 ∙ 4 и др.; могут быть со скобками или без скобок: (90 – 42) : 3, 90 – 42 : 3.

Как и выражения в одно действие, выражения в несколько действий имеют разную словесную формулировку, например: из 90 вычесть частное чисел 42 и 3; уменьшаемое 90, а вычитаемое выражено частным чисел 42 и 3, и др.

Выражения могут быть заданы в разной области чисел: с однозначными числами (7 – 4), с двузначными (70 – 40, 72 – 48), с трёхзначными (700 – 400, 720 – 480) и т.д., с натуральными числами и величинами (200 – 15, 2 м – 15 см). Однако, как правило, приёмы устных вычислений должны сводиться к действиям над числами в пределах 100. Так, случай вычитания четырёхзначных чисел 7200 – 4800 сводится к вычитанию двузначных чисел (72 сот. – 48 сот.), следовательно, его можно предлагать для устных вычислений.

Выражение можно задать в форме примера (устно или в виде записи): 7 + 2, 30 – 247 : 6, а можно задать и в других формах, например в форме таблицы:

Уменьшаемое	12	14	15	17	20	28
Вычитаемое	10	10	10	10	10	10
Разность

В первом-втором классах можно для этих целей использовать занимательные фигуры:

−12

85

48

50

74

4 7

6 3

9

14

7 +

37 26

40 +

5

8

5 48

Задания на нахождение значений выражений можно непосредственно связывать с различными вопросами начального курса математики: с нумерацией, величинами, дробями и т.п. Например, найти разность наименьшего трёхзначного числа и наибольшего однозначного; найти, сколько сантиметров в 1/5 м, и др.

Основное назначение упражнений на нахождение значений выражений – выработать у учащихся твёрдые вычислительные навыки. Вместе с тем упражнения на нахождение значений выражений способствуют и усвоению вопросов теории арифметических действий.

Сравнение математических выражений. Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо установить, равны ли их значения, а если не равны, то какое из них больше или меньше. Например, предлагается сравнить выражения и вместо звёздочки поставить знак «>», «<» или «=»:

6 + 4  4 + 6 20 + 7  20 + 5

20 ∙ 8  18 ∙ 10 8 ∙ 9 + 8  8 ∙ 10

При этом выбор знака отношения может быть выполнен либо на основе нахождения значений данных выражений и их сравнения (20 ∙ 8 < 18 ∙ 10, так как 160 < 180), либо на основе применения соответствующих знаний: переместительного свойства сложения (6 + 4 = 4 + 6), изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов ( 20 + 7 > 20 + 5) и др.

Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить либо дополнить. Например, предлагается закончить запись: 8 ∙ (10 + 2) = 8 ∙ 10 + …

Можно предлагать упражнения на сравнение выражений с переменной: например, требуется поставить вместо звёздочки знак «>», «<» или «=»: а – 17  а – 12.

Выражения в таких упражнениях могут включать различный числовой материал: однозначные, двузначные, трёхзначные числа и величины. Выражения могут быть с разными действиями.

Главная роль таких упражнений – способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, неравенствах и др. Кроме того, упражнения на сравнение выражений помогают и выработке вычислительных навыков.

Решение уравнений. В качестве устных упражнений предлагаются и различные уравнения. Это, прежде всего простейшие уравнения (х + 2 = 10) и более сложные (15 ∙ х – 9 = 51).

Уравнения можно предлагать в разных формах, например:

1. Решите уравнение 24 : х = 3.

2. Из какого числа надо вычесть 18, чтобы получилось 40?

3. Найдите неизвестное число: 73 – х = 73 – 18.

4. Я задумала число, умножила его на 5 и получила 85. Какое число я задумала?

Назначение таких упражнений – выработать умение решать уравнения, помочь учащимся усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий, а также способствовать выработке вычислительных навыков.

Решение задач. Для устной работы предлагаются задачи как простые, так и составные.

Эти упражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков.

Здесь рассмотрены основные виды устных упражнений. В практике школы они изменяются и дополняются самими учителями. Разнообразие упражнений возбуждает интерес у детей, активизирует их мыслительную деятельность.

Организация занятий по устному счёту

Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо установить правильное соотношение в применении устных и письменных вычислений, а именно вычислять письменно только тогда, когда устно вычислить трудно.

Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать весь урок. Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать учащимся при опросе.

Наряду с этим в практике учителей утвердилась хорошая традиция: на каждом уроке специально отводить 5-7 минут для устных вычислений, проводить так называемый устный счёт. Материал для этого этапа урока учитель подбирает из учебника, а также из специальных сборников устных задач и упражнений. Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель определяет место устного счёта на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения ранее пройденного материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести вначале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо проводить устный счёт после изучения нового материала. Не следует проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, а устный счёт требует большого напряжения внимания, памяти, мышления. Количество упражнений должно быть таким, чтобы их выполнение не переутомляло детей и не превышало отведённого на это времени урока.

Задания для устного счёта предлагают детям так, чтобы они воспринимали их либо зрительно, либо на слух, либо и зрительно, и на слух.

В первом случае упражнения записываются на доске или оформляются на плакате, на таблице. Учащиеся зрительно воспринимают задание. Запись задания на доске облегчает вычисление (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнять задание. Например, надо выполнить действия с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений и т.п. Можно в этих целях использовать счёты.

В отдельных случаях целесообразно предлагать задания для зрительного и слухового восприятия: кроме того, что упражнение читается учителем или учеником, оно записывается на доске или в тетрадях.

При восприятии задания на слух учитель или один из учеников прочитывает его, а все остальные слушают. Здесь большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память. Рекомендуется чередовать задания всех трёх видов.

После того как дети выполнят предложенное им задание, они поднимают руки и по указанию учителя несколько учеников устно сообщают ответ. Можно предлагать детям показывать ответы с помощью разрезных цифр или на досках, это помогает включить в работу всех учеников, и, кроме того, учитель сразу увидит, как дети справились с заданием. Если ученик ошибся, ему предлагают выполнить вычисления вслух. Для того, чтобы обеспечить большую самостоятельность детей при выполнении устных упражнений, дают иногда задания по вариантам. Ученики записывают ответы в тетрадях, затем проверяют правильность вычислений, выясняют и исправляют ошибки.

В начальных классах рекомендуется как можно больше устных упражнений проводить в форме игры. Такая форма заданий повышает интерес детей к математике. Рассмотрим наиболее распространённые из математических игр.

Игра «Молчанка». Для игры берётся какая-либо геометрическая фигура, в центре которой и по контуру, записываются числа. Около числа, расположенного в центре, ставится знак одного из арифметических действий. Постоянным является число, записанное в центре. Игра проводится так: учитель показывает указкой на одно из чисел, которое записано по контуру, а дети выполняют указанное действие с этим числом, записанным в центре. Вызванный ученик записывает результат. Остальные ученики поднятием руки сигнализируют, если допущена ошибка. Вся работа протекает молча. Игра может быть изменена: учитель показывает на число, а дети молча показывают результат на разрезных цифрах. Большой интерес вызывают у детей красочно оформленные «молчанки» в виде «Кто самый лучший капитан или космонавт».

Круговые примеры.

32 : 4 36 – 9 24 : 8

3 ∙ 12 8 + 16 27 + 5

Это круговые примеры. Их составляют так: первый пример берётся произвольно (32 : 4), результат этого примера должен быть первым компонентом следующего примера (8 + 16), результат этого примера будет первым компонентом следующего примера (24 8) и т.д., результат последнего примера будет первым компонентом первого (32). Затем эти примеры записываются в произвольном порядке.

Игра проводится так: примеры записываются на доске или на плакате; ученики решают первый пример; вызванный ученик называет не результат, а тот пример, который начинается с числа, равного результату (8 + 16); дети решают этот пример и называют следующий пример, который начинается с результата этого примера: 24 : 8 и т.д., пока не придут к первому примеру.

Круговые примеры могут составлять и сами ученики.

Угадывание задуманных примеров. На доске пишутся примеры. Учитель называет ответ одного из них (не первого), а ученики должны найти задуманный учителем пример по его ответу. В этом случае учащиеся решают все или почти все примеры, чтобы найти нужный. Можно изменить игру: вызвать одно ученика и повернуть его лицом к классу, а всем учащимся предложить решить про себя («задумать») какой-либо пример и назвать только его ответ; вызванный ученик должен указать задуманный пример. Работу вызванного ученика после решения нескольких примеров можно оценить.

Игра «Лото». Эта игра может быть использована для закрепления знаний табличного умножения, а также табличного сложения. Составление карточек проводится самими учащимися при изучении и запоминании таблиц умножения. В них включаются те табличные результаты, которые встречаются в разных таблицах (16, 18, 24, 36), и часто смешиваются учащимися (54, 56), и сравнительно трудно запоминаются (27, 28, 42, 49, 63, 64, 72, 81).

После изучения таблицы умножения 4 в устном счёте дети записывают в тетрадях ответы примеров: 2 ∙ 8, 9 ∙ 2, 4 ∙ 6, 3 ∙ 9, 4 ∙ 9, 4 ∙ 8, 4 ∙ 7.

Ответы проверяются и записываются учителем на доске, а дети записывают их на заранее приготовленных карточках (9 см Х 15 см) в разном порядке. После изучения умножения 6 добавляются числа 42, 54, после умножения 7 – 49, 63, 56, умножения 8 – 64, 72, умножения 9 – 81.

В итоге карточка ученика выглядит так:

16	24	72	32	54
56	42	64	27	63
28	49	36	81	18

Карточки других детей отличаются порядком чисел. Дома каждый ученик заготовляет 15 фишек (2 см Х 2 см) и нумерует их от 1 до 15. Во время игры у каждого ученика лежит карточка и фишки по номерам от 1 до 15. Игра протекает в быстром темпе. Учитель называет пример на табличное умножение, дети вычисляют и закрывают фишками соответствующие числа ни карточке. Те, кто хорошо знают таблицу, быстро закроют фишками нужные числа, и к моменту окончания игры окажутся лучшими счётчиками. Проверка может проводиться учителем в конце игры или в ходе игры. Учитель спрашивает, какой ответ получился в 3, или в 1, или в 12 примерах, объявляются правильные ответы и выясняются ошибки.

Существуют и другие игры: «Лучший счётчик», «Лесенка», «Лабиринт», «Математическая эстафета» угадывание чисел, задуманных детьми, и др. Все они способствуют развитию навыков устных вычислений. Выбирая игру, учитель должен руководствоваться тем, что это не самоцель, а средство активизации деятельности детей. При этом надо учитывать, что только та игра на уроке принесёт пользу, которая даёт возможность выполнить наибольшее число операций и охватить всех учащихся.

Необходимо систематически проверять умения и навыки устных вычислений у детей. Проводя устный счёт, учитель ведёт наблюдения за работой отдельных учащихся и учитывает это при выставлении поурочного балла. Многие учителя с целью учёта навыков вычислений успешно используют математические диктанты. Для этого подбирают 8-10 заданий различных видов упражнений по изученному материалу. На уроке учитель называет каждое задание 1-2 раза, а все учащиеся в обычных или специальных тетрадях для устного счёта записывают ответы. Проверка проводится или на уроке, или после уроков, выявляются ошибки. Математический диктант часто используется с целью обучения и тренировки в вычислениях, но иногда он может быть контрольным, и тогда работа каждого ученика оценивается.

Полезно проводить контрольные работы по проверке навыков устных вычислений не реже одного раза в четверть. Они проводятся в форме математического диктанта или по вариантам, тексты для которых записываются на доске.