Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Физика твердого тела

Файл:

Курсовая работа / курсовик ФТТ Kondratiev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

377.21 Кб

Скачать

☆

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Кафедра МЭ

Курсовая работа по физике твердого тела: ”Зонная структура кристаллов”

Выполнил: Кондратьев В.И. Факультет Электроники Группа: 4209

Санкт-Петербург

2007

Содержание

1	Задание		3
2	Приближение слабосвязанных электронов		4
	2.1	Закон дисперсии электронов E(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
	2.2	Ширина запрещенной зоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
	2.3	Волновая функция в точке k = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
	2.4	Эффективная масса электрона и дырки в точке k = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
3	Расчеты в MathCad		8
	3.1	Расчеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
	3.2	Результаты расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
4	Заключение		10

1Задание

Все теория исправлена по сравнению с тем, что было вначале (мелкие огрехи, к которым можно было прикопаться ), можно просто распечатать с меня или что лучше все проверить еще раз...

с уважением ABAKAN (к защите)

2Приближение слабосвязанных электронов

2.1Закон дисперсии электронов E(k)

Уравнение Шредингера:

−	¯h2	·	∂2Ψ		+ U(x)Ψ = EΨ	(1)
	2m0		∂x2

Для решения этого уравнения необходимо найти собственные энергии и собственные функции оператора Гамильтона.

Для одномерного случая решение будем искать в виде Блоховской волновой функции:

Ψ(x) = Aeikxuk(x)

где uk(x) — периодичная функция с периодом a (период кристаллической решетки):

uk(x + a) = uk(x)

которую можно разложить в ряд Фурье по векторам обратной решетки:

			∞
			X
uk(x) =			Am(k)eibmx
		m=−∞
где bm — вектор обратной решетки:
2π
bm =		m, m = 0, ±1, ±2, . . .
bm =	a	m, m = 0, ±1, ±2, . . .
Тогда волновая функция примет вид:
Ψ(x) =		∞	Am(k)ei(2aπ m+k)x	(2)
		X

m=−∞

где Am(k) — амплитуда разложения.

Подставим выражение для Ψ(x) (2) в уравнение Шредингера (1), но перед этим сделаем

обезразмеривание.

Обозначим единицу измерения расстояния x0 = a, тогда обезразмеренное расстояние:

x˜ =

Обезразмерим энергию:

h¯2

∂2

h¯2

∂2

2m0

∂x2

2m0a2

∂x˜2

где E0 — единица измерения энергии:

{z }

h¯2

aБ

= 13.606 ·

0.529

E0 =

эВ

(3)

2m0a2

2m0aБ2

h¯2

где R =

= 13.606 эВ — константа Ридберга,

2m0aБ2

aБ = 0.529 A— радиус Бора.

Тогда обезразмеренная энергия:

E =

(4)

Обезразмеренная потенциальная энергия:

U =

Обезразмерим разложение волновой функции (2). Для этого введем обезразмеренное волновое

˜
число k = k · a:	i(2π m+k)x	∞	i(2πm+k·a )x
∞	i(2π m+k)x	∞	i(2πm+k·a )x
X		X
Ψ(x) =	Am(k)e a	=	Am(k)e a
m=−∞		m=−∞

тогда обезразмеренное разложение волновой функции имеет вид:

∞

Ψ(˜x) =

˜ i(2πm+k)x˜

Am(k)e

m=−∞

Уравнение Шредингера в оберазмеренном виде:

∂2Ψ(˜x)

−

∂x˜2

+ U(˜x)Ψ(˜x) = EΨ(˜x)

Подставим волновую функцию (5) в уравнение Шредингера (6):

∂2

∞

i(2πm+k)x˜

−

m=−∞ Am(k)e

+ U(˜x) m=−∞ Am(k)e

= E m=−∞ Am(k)e

∂x˜2

Объединим суммы:

∞

−

∂2

∞

∂x˜2 Am(k˜)ei(2πm+k)x˜ + U˜

(˜x)Am(k˜)ei(2πm+k)x˜ = E˜ m=

Am(k˜)ei(2πm+k)x˜

−∞

Продифференцируем (возьмем производную):

∞

m=−∞ h(2πm + k˜)2Am(k˜)ei(2πm+k˜)x˜ + U˜(˜x)Am(k˜)ei(2πm+k˜)x˜i = E˜ m=−∞ Am(k˜)ei(2πm+k˜)x˜

Сократим на eikx˜:

∞

m=−∞ h(2πm + k˜)2Am(k˜)ei·2πm·x˜

+ U˜(˜x)Am(k˜)ei·2πm·x˜i = E˜ m=−∞ Am(k˜)ei·2πm·x˜

Домножим обе части на e−i·2πnx˜, n = 0, ±1, ±2, . . .:

∞

m=−∞ h(2πm + k˜)2Am(k˜)ei·2π(m−n)·x˜ + U˜(˜x)Am(k˜)ei·2π(m−n)·x˜i = E˜ m=−∞ Am(k˜)ei·2π(m−n)·x˜

(5)

(6)

1R a/2

ипроинтегрируем a −a/2 dx. Поскольку мы выбрали единицу измерения расстояния x0 = a, это

интегрирование эквивалентно R 1/2 dx˜:

−1/2

∞	"(2πm + k˜)2Am(k˜)		1/2 ei·2π(m−n)·x˜dx˜ + Am(k˜)		1/2 U˜	(˜x)ei·2π(m−n)·x˜dx˜#	=
m=		1/2		1/2
m=		Z−		Z−
X

−∞

∞Z 1/2

X		Am(k˜)
= E˜		Am(k˜)	ei·2π(m−n)·x˜dx˜
m=	−∞		−1/2
	−∞

Используем свойство ортогональности R 1/2 e±i2π(m−n)˜xdx˜ = δnm:

−1/2

∞

m=−∞

"(2πm + k˜)2Am(k˜)δnm + Am(k˜)		1/2 U˜	(˜x)ei·2π(m−n)·x˜dx˜#	= E˜	∞	Am(k˜)δnm
	1/2				m=
	Z−				m=
					X

−∞

где δnm — символ Кронекера, равный единице, если m = n, и равный нулю если m 6= n.

Воспользуемся этим условием: Pm f(m)δnm		= f(n)
Воспользуемся этим условием: Pm f(m)δnm			1/2
∞ "(2πm + k˜)2Am(k˜)δnm + Am(k˜)			Z−	1/2 U˜(˜x)ei·2π(m−n)·x˜dx˜# = EA˜ n(k˜)
m=			Z−
X
	−∞
Обозначим:	˜			˜ 2
	˜			˜ 2	δnm
	Tnm(k) = (2πm + k)				δnm

матрицу кинетической энергии, и:

Z 1/2

˜ i·2π(m−n)·x˜

Unm = U(˜x)e dx˜

−1/2

матрицу потенциальной энергии.

Тогда уравнение Шредингера приобретает вид:

∞	h				i
X	˜			˜	˜	˜
	˜	˜			˜	˜
	Am(k) Tnm(k) + Unm				= EAn(k)
m=−∞	\|		{z		}

Hnm(k)

и для его решения необходимо найти собственные числа и собственные значения матрицы Гамильтониана со следующими элементами:

					1/2
Hnm(k˜) = Tnm(k˜) + Unm = (2πm + k˜)2δnm + Z U˜(˜x)ei·2π(m−n)·x˜dx
				−1/2
\|		{z		−1/2
\|		{z		}	Unm
			˜
	Tnm(k)			\|	{z	}
				\|	{z	}

Таким образом собственные числа матрицы Гамильтониана соответствуют различным энергетическим уровням E(k), то зонная структура для 4 нижних зон будет иметь вид приведенный в пункте 3.2.

2.2Ширина запрещенной зоны

Ширина запрещенной зоны E определяется разностью энергий между энергией валентной зоной Ev и зоной проводимости Ec

E = Ec − Ev

Будем считать две нижние зоны полностью заполненными.Тогда энергия валентной зоны Ev будет равна энергии E(0)2 для 2-ого энергетического уровня в точке k = 0, а энергия зоны проводимости - E(0)3 для 3-его.

Тогда ширина запрещенной зоны E с учетом обезразмеривания (4) будет иметь вид:

˜	· E0	˜	· E0
E = E(0)3		− E(0)2

2.3Волновая функция в точке k = 0

Волновая функция в точке k = 0 в одномерном кристалле с учетом формулы (5) имеет вид:

∞

Ψ(˜x) = Am(0)ei(2πm)˜x

m=−∞

где Am(0) — вектор собственных значений соответствующий собственному числу E(0) из решения матрицы Гамильтониана. График для 4 нижних энергетических зон приведен пункте 3.2.

2.4Эффективная масса электрона и дырки в точке k = 0

Формула для расчета эффективной массы имеет вид (7):

1		=		1 ∂2E(0)
						(7)
	m		¯h2
					∂2k
Обезразмерим эффективную массу для этого сделаем замену
		m˜ =			m
					m0

Тогдя с учетом формулы (3) и k = k · a, формула для обезразмеренной эффективной массы

примет вид :

E(0)

2 ˜

∂

h¯

E(0)

¯h2 ∂2k

h¯2

∂2 k˜

∂2k˜ 2m0a2 ¯h2

∂

2˜

m˜ = 2 ·

∂

E(0)

Эффективная масса электрона рассчитывается для энергетического уровня E(0)3 соответствующего зоне проводимости. Эффективная масса дырки рассчитывается для энергетического уровня E(0)2 соответствующего валентной зоне.

3Расчеты в MathCad

3.1Расчеты

⌠

− i 2π (m) x

(

)

(

)

x e

dx complex → i

cos

π m

−

sin π m

2 π m

2 π

⌡− 1

lim

(

)

(

π m

)

→ 0

cos

π m −

sin

m →

2 π m

2 π2 m2

U00 := 5 a := 6

точек

p := 100

ORIGIN := −p

E0 :=

13.606

0.529 2

U0 :=

U00

E0 = 0.106

U1(x) :=

2U0 x if

≤

U(x) :=

∑ U1(x − g)

otherwise

g = − 3

Up :=

for

m −p..p

for

n −p..p

Upn,m ← U0

2 i

2 π (n − m)

cos π (n − m) −

− m)

sin π (n − m)

if n ≠ m

2 π (n

n = m

H(K) :=

for m −p..p

Uux(x) :=

∑

n,0

exp i x (n) 2 π

for

n −p..p

n = − p Hn,m ← (2 π m + K)2 δ(m,n) + Upn,m H

E(K) := Re(sort(eigenvals (H(K))))

FG(K) :=	d2		E(K)	− p+1	FG(0)	= −13.555	MD := 2		1
	2
									FG(0)
	dK
	d2						MD = −0.148
FG(K) :=		E(K)		− p+2	FG(0)	= 18.51		1
	2
	dK						ME:= 2
								FG(0)
K := −π,−π + 0.1 ..π					ME = 0.108
ZZ := E(0)− p +2 E0				− E(0)− p +1 E0		ZZ = 1.731

y := −p ..−p + 3

Ay := eigenvec (H(0) ,E(0)y)

p	(Ay)	exp(i 2 π m x)
Ψ(x,y) := ∑	(Ay)	exp(i 2 π m x)
m = − p		m
m = − p

3.2	Результаты расчетов
				исходный потенциал
	50
	U(x)
	0
	Re(Uux(x))
	50 2	1.5	1	0.5	0	0.5	1	1.5	2
					x
	200		зонная структура
	200					U00	= 5	a = 6
						U00	= 5	a = 6
						эффективные массы
	150					MD = −0.148
						MD = −0.148

E(K)−p		ME = 0.108
E(K)−p+1	100	ZZ = 1.731
E(K)−p+2		запрещенная зона
E(K)−p+3	50

								a1 := E(0)− p	a2 := E(0)− p +1
0								a3 := E(0)− p +2		a4 := E(0)− p +3
								a3 := E(0)− p +2		a4 := E(0)− p +3
50	2	1	0	1	2	3	l := 15
3	2	1	0	1	2	3
			K		волновые функции
		200
l ( Ψ(X,− p +0) )2+a1
a1		150
l ( Ψ(X,− p +1) )2+a2
a2		100
		100
l ( Ψ(X,− p +2) )2+a3+30
a3+30		50
l ( Ψ(X,− p +3) )2+a4		50
l ( Ψ(X,− p +3) )2+a4
a4
Re(Uux(X))		0
Re(Uux(X))
		50
		0	0.5	1	1.5		2	2.5		3
					X
				9

4Заключение

Для кристаллической решетки с потенциалом U0 = 5 эB и периодом a = 6˚A :

1.В приближении слабосвязанных электронов рассчитали закон дисперсии электронов E(k) ;

2.Считая две нижнее зоны полностью заполненными , определили ширину запрещенной зоны кристалла E = 1.731 эB;

3.Построили волновые функции в точке k = 0 для четырех нижних зон (графики для 4 нижних энергетических зон приведены пункте 3.2);

4. Рассчитали эффективные массы электрона me = 0.108 m0 и дырки mp = −0.148 m0 точке k = 0.