4.2. Інверсія.

Нехай а₁, а₂, ..., а_n - перестановка множини {1, 2,..., n}. Якщо i<j, a a_i>a_j, то (a_i, a_j) називають інверсією перестановки.

Наприклад, для перестановки

3142

існують три інверсії: (3,1), (3,2), (4, 2).

Тільки одна перестановка не має інверсій - впорядкована по зростанню.

Таблицею інверсій перестановки а₁, а₂, ..., а_n називають послідовність чисел b₁, b₂, ..., b_n де bj - кількість елементів, більших за j та розташованих лівіше j (кількість інверсій для j).

Маршал Холл (1956) довів наступне: "Таблиця інверсій однозначно визначає відповідну перестановку". Розглянемо приклад. Нехай задана перестановка:

j	1	2	3	4	5	6	7	8	9
перестановка	5	9	1	8	2	6	4	7	3
таблиця інверсій	2	3	6	4	5	2	2	1	0

Таблиця інверсій визначається дуже просто. В перестановці знаходимо 1 та підраховуємо, скільки чисел, більших за 1 стоїть попереду в цій перестановці. Це два елементи - 5 та 9. ставимо на перше місце 2. Для двійки таких чисел 3 - 5,9 та 8. Ставимо на друге місце 3.1 так до кінця.

А тепер на основі таблиці інверсій отримаємо задану перестановку.

j	1	2	3	4	5	6	7	8	9
таблиця інверсій	2	3	6	4	5	2	2	1	0

Всього елементів 9. Тому записуємо 9 для початку.

Для j=8 bj =1, то запишемо 9,8. Адже перед 8 стоїть одне більніе число.

Для j=7 bj=2, то запишемо 9,8,7.

Для j=6 bj=2, то запишемо 9,8,6,7.

Дляі j=5 bj=0, то запишемо 5,9,8,6,7.

Для j=4 bj=4, то запишемо 5,9,8,6,4,7.

Для j=3 bj=6, то запишемо 5,9,8,6,4,7,3.

Для j=2 bj=3, то запишемо 5,9,8,2,6,4,7,3.

Для j=1 bj=2, то запишемо 5,9,1,8,2,6,4,7,3.

В результаті отримали задану перестановку.

Таким чином задачу, яка була сформульована в термінах перестановок, можна замінити аналогічною задачею в термінах інверсій. Так наприклад, запитання "Скільки існує перестановок множини {1,2, ...,n}?" можна відповісти "Кількість перестановок дорівнює кількості можливих таблиць інверсій". Кількість таблиць інверсій легко перелічити: b₁ ) можна вибрати n способами, b₂ можна вибрати n-1 способами, ..., b_n можна вибрати 1 способом. Отримуємо

n*(n-l)*(n-2)*...*2*l=n!

Таблиці інверсій обчислити легше, тому що b незалежні, а а повинні бути всі різними.

Якщо поміняти місцями два сусідніх елементи перестановки, то кількість інверсій збільшиться або зменшиться на одиницю

4.3. Обернені перестановки.

Перестановку можна записати у вигляді таблиці з двома рядками:

1	2	3	…	n
а1	а2	а3	…	аn

Далі поміняємо місцями рядки та впорядкуємо стовпчики в порядку зростання по верхнім елементам:

а1	а2	а3	…	аn
1	2	3	…	n

1	2	3	…	n
а1'	а2'	а3'	…	аn'

Отримана перестановка а₁', а₂',..., а_n' називається оберненою перестановкою.

Для перестановки 5 9 1 8 2 6 4 73 отримаємо обернену перестановку:

5	9	1	8	2	6	4	7	3
1	2	3	4	5	6	7	8	9

1	2	3	4	5	6	7	8	9
3	5	9	7	1	6 ■	8	4	2

Обернена перестановка -3 5 9 7 1 6 8 4 2.