6.4.3Загальні принципи використання надлишковості
Здатність коду виявляти і виправляти помилки обумовлена наявністю надлишкових символів.
На вхід кодуючого пристрою надходить послідовність з інформаційних двійкових символів. На виході їй відповідає послідовність з n двійкових символів, причому n>k.
Всього
може бути
різних вхідних і
різних вихідних послідовностей.
Із загального числа вихідних послідовностей лише послідовностей відповідають вхідним. Їх називають дозволеними кодовими комбінаціями.
Інші
можливих вихідних послідовностей для
передачі не використовуються. Їх
називають забороненими кодовими
комбінаціями.
Спотворення інформації в процесі передачі зводяться до того, що деякі з переданих символів замінюються іншими – невірними.
Оскільки
кожна з
дозволених комбінацій в результаті дії
завад може трансформуватися в будь-яку
іншу, то завжди є
можливих випадків передачі. До цього
числа входять:
випадків безпомилкової передачі;
випадків
переходу в інші дозволені комбінації,
що відповідає невиявленим помилкам;
випадків
переходу в недозволені комбінації, які
можуть бути виявлені.
Отже, частина помилкових кодових комбінацій, що виявляються, від загального числа можливих випадків передачі складає
. (5.4)
Приклад 5.2.
Визначити
здатність коду розпізнавати помилки,
кожна комбінація якого містить всього
один надлишковий символ (
).
Розв’язок
: Загальна кількість вихідних послідовностей
складає
,
тобто удвічі більше загальної кількості
кодованих вхідних послідовностей.
За
підмножину дозволених кодових комбінацій
можна прийняти, наприклад, підмножину
комбінацій, що містять парне число
одиниць (або нулів).
При кодуванні до кожної послідовності з інформаційних символів додають один символ (0 або 1), такий, щоб число одиниць в кодовій комбінації було парним. Виконання будь-якого непарного числа символів переводить дозволену кодову комбінацію в підмножину заборонених комбінацій, що виявляється на приймальній стороні по непарності числа одиниць. Частина розпізнаних помилок складає
.
Будь-який
метод декодування можна розглядати як
правило розбиття всієї множини заборонених
кодових комбінацій на
пересічних підмножин
кожна з яких ставиться у відповідність
одній з дозволених комбінацій. При
отриманні забороненої комбінації, що
належить підмножині
,
приймають рішення, що передавалась
заборонена комбінація
.
Помилка буде виправлена в тих випадках,
коли отримана комбінація дійсно
утворилася з
,
тобто
випадках.
Всього
випадків переходу в недозволені
комбінації -
.
Таким чином, при
наявності надлишковості будь-який код
здатний виправляти помилки.
Відношення числа помилкових кодових комбінацій, що виправляються кодом, до виявлених помилкових комбінацій рівне
. (5.5)
Спосіб розбиття на підмножини залежить від того, які помилки повинні виправлятись конкретним кодом.
Більшість розроблених кодів призначено для коректування взаємно незалежних помилок певної кратності і пачок (пакетів) помилок.
Взаємно незалежними помилками називають такі спотворення в переданій послідовності символів, при яких ймовірність появи будь-якої комбінації спотворених символів залежить лише від числа спотворених символів r і ймовірністі спотворення звичайного символу р.
При взаємно незалежних помилках ймовірність спотворення будь-яких r символів в n-розрядній кодовій комбінації:
, (5.6)
де p
– ймовірність спотворення одного
символу; r – число
спотворених символів; n
– число двійкових
символів на вході кодуючого пристрою;
–
число помилок порядку r.
Якщо
,
то найбільш ймовірні помилки нижчої
кратності. Їх слід виявляти і виправляти
в першу чергу.