Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
файл 2 теория Численные методы.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
07.09.2019
Размер:
777.22 Кб
Скачать

4.4.Численное дифференцирование и интегрирование

К численному дифференцированию приходиться прибегать в том случае, когда функция f(x), для которой нужно найти производную, задана таблично или же функциональная зависимость f(x) имеет сложное аналитическое выражение. В этих случаях функция разбивается одномсерной сеткой и используются приближенные формулы. Формула первой производной для двух узлов:

(4.4.1), , h-шаг изменения аргумента.

Формула первой производной по трем узлам для второй точки:

(4.4.2) , где

Формула второй производной для трех узлов:

(4.4.3)

Численное интегрирование применяют в случаях когда нельзя найти формулу первообразной в элементарных функциях. Общий метод численного интегрирования сводится к замене интегрируемой площади подынтегральной функции на элементарные площади, получаемые разбиением с заданным шагом , где – квадратурная сумма, -коэффициенты, -узлы квадратурной функции.

Формула прямоугольников.

(4.4.4), где (k- число разбиений).

Иллюстрация метода прямоугольников.

Формула трапеций.

(4.4.5)

где h-шаг разбиения

Ошибка вычисления интеграла определяется как

, где

Иллюстрация метода трапеций.

Формула Симпсона.

(5.4.6 ), где (n-число разбиений)

Ошибка вычисления интеграла

где , четвертая производная.

Рассмотрим численный метод вычисления интеграла с шагом 0.01 по формуле Симпсона.

Интеграл будет иметь вид :

=

Пример. Написать алгоритм и программу вычисления интеграла на основе метода прямоугольников и найти первую производную по двум узлам и вторую производную выражения по двум узлам 2 и 4.

Обозначим в схеме выражения (4.4.2), (4.4.3), (4.4.4) соответственно (a), (b), (c)

var

delta:real;

x0,x1,n,proiz1,proiz2,integ:real;

i : integer;

function fun(x:real):real;

begin

fun:=12*x*x+exp(x);

end;

Begin

write('Введите x0 и x1:');

readln(x0,x1);

n:=x0;

proiz1:=fun(x1)-fun(x0)/(2*abs(x1-x0)); {вычисление первой производной}

proiz2:=(fun(x0)-2*fun(x0+abs(x1-x0)/2)+fun(x1))/(abs(x1-x0)*abs(x1-x0));

{вычисление второй производной}

delta:=abs(x1-x0)/10;

integ:=0;

for i:=1 to 10 do begin

integ:=integ+delta*(fun(x0)+fun(x0+delta))/2; {вычисление интеграла}

x0:=x0+delta;

end;

writeln('Первая производная=',proiz1:6:2,’ в точке x=’,(x1-n)/2);

writeln('Вторая производная=',proiz2:6:2,’ в точке x=’,(x1-n)/2);

writeln('Интеграл=',integ:6:2);

readln;

End.

Результаты задачи 4 :

Введите x0 и x1 : 2 4

Первая производная=232.75 в точке x=3

Вторая производная=11.45 в точке x=3

Интеграл=271.53

4.5.Методы решения дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида:

(4.5.1)

Решить дифференциальное уравнение это значит определить функцию y=F(x), которая при подстановке в уравнение (4.5.1) приводит к тождеству. Поиск решения y=F(x) при реализации аналитических методов сводится к интегрированию уравнения (4.5.1), что не всегда приводит к успеху из-за сложности вида f(x,y). Поэтому для решения задач (4.5.1) используют численные методы.

Метод Эйлера. При реализации метода Эйлера для уравнения (4.5.1) первую производную заменяют приближенным соотношением:

, (4.5.2)

которое является первым приближением формулы Тейлора:

Таким образом, уравнение (4.5.2) преобразуется к виду:

(4.5.3)

где .

Для решения уравнения (4.5.1) с помощью приближения (4.5.3) вводят начальное условие Коши .

Поясним применимость формулы (4.5.3) для решения дифференциального укравнения на отрезке [1,3] при начальном условии y(x=1)=2.

Выберем шаг итерации 0.5:

y(1)=2;

Отсюда

y(1)=2;

y(1.5)=2+0.5*(2*2+e)=5.39;

y(2)=5.39+0.5*(2*5.39+ )=13.1;

y(2.5)=13.1+0.5*(2*13.1+ )=43.17;

y(3)=43.17+0.5*(2*43.17+ )=92.79.

Результаты вычислений представлены в таблице

k

0

1

2

-

-

1

1.5

5.39

3.39

2

2

2

13.1

7.71

5.39

3

2.5

43.17

30.07

13.1

4

3

92.79

49.62

43.17

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Итерационная формула в этом методе имеет вид:

(4.5.4),

где ; ; ; .

Поясним применимость метода Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения на отрезке [1,3] с начальными условиями y(x=1)=2.

Выберем шаг 1:

;

;

;

;

;

для следующего шага:

;

;

;

;

;

Обозначим . Результаты вычислений представлены в таблице:

k

0

1

2

-

-

1

2

26.27

24.27

2

2

3

201.3

175.03

26.27

Для решения дифференциального уравнения более высокого порядка используется следующий прием. Любое уравнение n-го порядка можно свести к системе n уравнений первого порядка способом замены переменных. Для этого вводят новые переменные , в результате чего получают эквивалентную систему:

Указанный метод позволяет свести решение дифференциального уравнения n-го порядка к решению системы n уравнений первого порядка. В свою очередь методы решения одного уравнения первого порядка распространяются на систему таких уравнений.

Рассмотрим данный метод на примере дифференциального уравнения с начальными условиями , на отрезке [1,3].

Выполним замену переменной и приходим к системе из двух уравнений:

Таким образом любое уравнение n-порядка можно свести к системе уравнений первого порядка.

Пример. Написать алгоритм и программу решения дифференциального уравнения на отрезке [0,2] методом Рунге-Кутта четвертого порядка. Начальное условие Коши y(0)=1.

Обозначим выражение (4.5.4) в схеме алгоритма как (a).

program Runge_Cutta;

uses crt;

var y,x: array [1..11] of real;

k1,k2,k3,k4,y0,h,f0,fn:real;

i:integer;

function fun(x,y:real):real;

begin

fun:=2*y+exp(x);

end;

begin {н.п.}

clrscr;

f0:=0;

fn:=2;

h:=abs(fn-f0)/10; {шаг}

y0:=1;k1:=0;k2:=0;k3:=0;k4:=0;

k1:=fun(f0,y0);

k2:=fun(f0+h/2,y0+h*k1/2);

k3:=fun(f0+h/2,y0+h*k2/2);

k4:=fun(f0+h/2,y0+h*k3/2);

y[1]:=y0+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); {вычисление функции в первой

точке}

x[1]:=f0;

f0:=f0+h;

for i:=2 to 11 do begin

k1:=fun(f0,y[i-1]);

k2:=fun(f0+h/2,y[i-1]+h*k1/2);

k3:=fun(f0+h/2,y[i-1]+h*k2/2);

k4:=fun(f0+h/2,y[i-1]+h*k3/2);

y[i]:=y[i-1]+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); {вычисление функции в

остальных точках}

x[i]:=f0;

f0:=f0+h;

end;

for i:=1 to 11 do

writeln('x[',i,']=',x[i]:2:1,' y[',i,']=',y[i]:5:3);

readln;

end.{к.п.}

Результаты задачи 5:

x[1]=0.0 y[1]=1.733 x[2]=0.2 y[2]=2.870

x[3]=0.4 y[3]=4.618 x[4]=0.6 y[4]=7.282

x[5]=0.8 y[5]=11.315 x[6]=1.0 y[6]=17.391

x[7]=1.2 y[7]=26.510 x[8]=1.4 y[8]=40.151

x[9]=1.6 y[9]=60.505 x[10]=1.8 y[10]=90.814

x[11]=2.0 y[11]=135.871

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.