Математическая модель транспортной задачи.
Пусть хij – количество груза, перевозимого с i-го в j-й пункт.
Целевая
функция:
Система ограничений:
Для решения задачи составляется таблица. В клетки таблицы записывается стоимость соответствующих перевозок сij и в них же заносятся значения перевозок xij, удовлетворяющих поставленным ограничениям. Клетки с не нулевыми перевозками называются базисными, а с нулевыми – свободными. В зависимости от соотношения между запасами и заявками транспортная задача называется сбалансированной или несбалансированной.
Сбалансированная
ТЗ:
Несбалансированная
ТЗ:
Для
сбалансированной ТЗ ограничения
принимают вид равенств, то есть получаем
m+n ограничений, в которых все переменные
линейно зависимы. В результате допустимое
решение сбалансированной ТЗ может быть
получено, если заполнять клетки
транспортной таблицы таким образом,
чтобы сумма перевозок в каждой строке
должна быть равна запасам ai, а сумма
перевозок в каждом столбце
равна соответствующей заявке вj.
Вариантов заполнения транспортной
таблицы множество, поэтому искомым
решением является то из допустимых
решений, для которых общая стоимость
перевозок будет минимальной.
27 Задачи многокритериальной оптимизации можно разделить на два класса: к первому относятся задачи выделения некоторого подмножества приемлемых вариантов, а другой класс задач предполагает поиск единственного оптимального варианта.
28 НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями.
Метод множителей Лагранжа применяют для решения задач такого же класса сложности, как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. К требованию возможности получения аналитических выражений для производных от критерия оптимальности при этом добавляется аналогичное требование относительно аналитического вида уравнений ограничений.
В основном при использовании метода множителей Лагранжа приходится решать те же задачи, что и без ограничений. Некоторое усложнение в данном случае возникает лишь от введения дополнительных неопределенных множителей, вследствие чего порядок системы уравнений, решаемой для нахождения экстремумов критерия оптимальности, соответственно повышается на число ограничений. В остальном, процедура поиска решений и проверки их на оптимальность отвечает процедуре решения задач без ограничений.
Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов на основе уравнений с частными производными и задач динамической оптимизации. При этом вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений.
Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их помощью иногда удается снизить размерность решаемой задачи.
29 НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел математического программирования, изучающий методы решения экстремальных задач с нелинейной целевой функцией и (или) областью допустимых решений, определенной нелинейными ограничениями.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел математического программирования, совокупность приемов, позволяющих находить оптимальные решения, основанные на вычислении последствий каждого решения и выработке оптимальной стратегии для последующих решений.
30. В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана, формулирующийся следующим образом:
управление на каждом шаге надо выбирать так, чтобы оптимальной была сумма выигрышей на всех оставшихся до конца процесса шагах, включая выигрыш на данном шаге.
Постановка простейшей задачи оптимального распределения ограниченного ресурса
В различных производственно-экономических системах значительное число решаемых задач тесно связано с эффективным использованием и распределением ограниченных ресурсов, необходимых для нормального функционирования таких систем. Переходя к формулировке одной из простейшей задач такого класса, вначале опишем кратко процессы, обусловливающие возникновение этого типа задач.
Пусть некоторая производственно-экономическая система располагает заданным количеством какого-либо экономического ресурса, под которым подразумеваются материальные, трудовые, финансовые либо иные ресурсы, необходимые для функционирования системы. В случае нескольких потребителей указанного ресурса или далее соответствующих технологических процессов возникает следующая задача: разделить имеющееся количество ресурса между ними так, чтобы максимизировать их суммарную эффективность или получаемый доход от этих процессов.
31 Модели сетевого планирования и управления (модели СПУ) предназначены для планирования и управления сложными комплексами работ (проектами), направленными на достижение определенной цели в заданные сроки (строительство, разработка и производство сложных объектов и др.).
В экономических исследованиях сетевые модели возникают при моделировании экономических процессов методами сетевого планирования и управления (СПУ).
Объектом управления в системах сетевого планирования и управления являются коллективы исполнителей, располагающих определенными ресурсами и выполняющих определенный комплекс операций, который призван обеспечить достижение намеченной цели, например, разработку нового изделия, строительства объекта и т.п.
Основой сетевого планирования и управления является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.
Основные понятия сетевой модели:
событие,
работа
путь.
Сети Петри — математический аппарат для моделирования динамических дискретных систем. Впервые описаны Карлом Петри в 1984 году.
Сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, состоящий из вершин двух типов — позиций и переходов, соединённых между собой дугами, вершины одного типа не могут быть соединены непосредственно. В позициях могут размещаться метки (маркеры), способные перемещаться по сети.