2.4. Проверка выполнения условий для получения «хороших оценок» методом наименьших квадратов

МНК даёт «хорошие» оценки коэффициентов и при выполнении нескольких условий; эти условия касаются E_i, основными предположениями классической модели линейной регрессии является:

1. М( i)=0; Во всех моделях. Отсюда следует, что первое условие выполняется для всех моделей.

2. Среди основных условий регрессий присутствует следующее условие =const. Одним из критериев выполнения этого условия является то, что величина F подчиняется F-распределению со степенями свободы n1=n/2-1 и n2=n/2-1.

F^расч определено для каждой модели, и представлено в сводной таблице. В итоге, с вероятностью 95% можно сказать, что условие 2 выполняется для всех моделей, т.к. Fрасч меньше Fтабл.

Модели адекватны, модели не нужно улучшать.

3. Следующим условием определения «хороших оценок» коэффициентов регрессии является отсутствие зависимости между случайными компонентами. Выполнение этого условия можно проверить с помощью критерия Дарвина-Уотсена, вычисляемого по следующей формуле:

Рассчитаем данные показатели для всех моделей:

Для линейной модели он будет равен:

D = 6476,371/3957,859=1,64

Для степенной модели:

D = 0,0024/0,0013=1,86

Для показательной модели:

D = 0,0025/0,0012=2,04

Для гиперболической модели:

D = 6772,135/5026,95=1,35

Решения принимаются на основе табличных данных из следующих правил:

1. d₂<D-W<2;

2. D-W<d_1;

3. d₁<D-W< d_2;

4. 2<D-W

Если d расч меньше 2, и больше d₂ = 1,36, то это значит, что гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается. Для линейной, степенной и показательной модели гипотезу об отсутствии принимаем с вероятностью 0,95.

Таким образом, условие 3 выполняется для линейной, степенной и показательной модели (все расчетные и фактические данные приведены в сводной таблице). Итак, можно сделать вывод, что условия «хороших оценок» выполняются для линейной, степенной и показательной модели.

Рассчитаем также среднюю относительную ошибку Е .

Е =

Для линейной модели он будет равен:

Е =0,35

Для степенной модели:

Е =0,32

Для показательной модели:

Е =0,36

Для гиперболической модели:

Е =0,3

Если Е меньше 15%, то модель построена на высоком уровне точности.

Следовательно, все модели построены с приемлемой точностью.

3. Сводная таблица по лабораторной работе

№ задания		Oбозначение	Формула	Значение																		Примечание
				Линейная модель					Степенная модель				Показательная модель				Гиперболическая модель
				y=a+bx					Y=AX^B				Y=AB^X				Y=A+B/X
									y=lgY,a=lgA,x=lgX,b=B				y=lgY,x=X,a=lgA,b=lgB				y=Y ,x=1/X, a=A, b=B
1		В своем виде		Y=-2,952+1,0656x					Y= 0,9557*X^1,017				Y= 169,057* 1,00229^x				Y=944,04-206632/x
		Линейном виде		y=-2,952+1,0656x					y=-0,02+ 1,017x				y= 2,228+ 0,00099x				y=944,04-206632x
		a	â = =	-2,952					-0,023				2,404				1416,099
		b		1,0656					1,017				0,001				-464946,861
		A		a					10^a				10^a				a
				-2,952					0,949				253,591				1416,099
		B		b					b				10^b				b
				1,0656					1,017				1,002				-464946,861
2.1	2.1.1	Остаточная дисперсия	 =	878,414					0,0004				0,00039				848,109					Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше регрессионное уравнение, (является размерной величиной)
	2.1.2	Индекс корреляции	r =	0,959			Связь прямая сильная		0,956			Связь прямая сильная	0,951			Связь прямая сильная	0,96				Связь прямая сильная	ryx>0 – прямая связь ryx<0 – обратная связь >0,7 – сильная связь
	2.1.3	Коэффициент детерминации	R =1-	0,92			Хорошее качество подгонки		0,91			Хорошее качество подгонки	0,9			Хорошее качество подгонки	0,92				Хорошее качество подгонки	0 1, чем ближе R² к 1, тем лучше качество подгонки
	2.1.4	Коэффициент эластичности	Э_yx=	1,0041					1,008				0,156				-0,9889					Показывает на сколько изменился результативный признак y(расч) при изменении факторного признака x на 1 %
	2.1.5	Бета-коэффициент	=	0,9585					0,9555				0,9509				-0,96					Бета-коэффициент показывает, на какую величину S_yизменится в среднем значение y при изменении величины x на S_x , то есть y изменится на S_y при изменении x на S_x
		Средние квадратичес-кие ошибки выборки величины y и x	S_y=	61,987					0,0583				0,058				92,987
			S_x=	83,637					0,0547				83,637				0,0002
2.2		Значимость уравнения множествен-ной регрессии в целом (F-критерий Фишера)	F ^расч= =	90,434		Линейная связь есть			83,944		Линейная связь есть		75,531			Линейная связь есть	93,952			Линейная связь есть		Если F^табл> F^расч, то гипотезу об отсутствии линейной связи отвергаем с заданной вероятностью p. Для F^табд используются степени свободы n₁=1, n₂=n-2
																						F^табл= 5,32
2.3		Значимость коэффициентов уравнения регрессии (t-критерий Стьюдента)	t^расч= =	9,51		X влияет на Y существенно			9,162		X влияет на Y существенно		8,69			X влияет на Y существенно	-9,693			X не влияет на Y		Если t(расч)>t(табл), то x влияет на y существенно, то есть b не равно 0, с заданной вероятностью p. Для t(табл) исп-ся степень свободы n-2
		Стандартная ошибка коэффициента b		0,112					0,111				0,000076				47968					t(табл)=2,306
2.4	2.4.1	M( )=0 (с помощью t-критерия Стьюдента)	^расч =	0,00				1 условие M( )=0 соблюдается	0,00		1 условие M( )=0 соблюдается		0,00		1 условие M( )=0 соблюдается		0,00			1 условие M( )=0 соблюдается		Проверка H₀: среднее арифметическое значение уровней ряда остатков по модулю равно 0, на уровне значимости. Но гипотеза отклоняется, если t(табл)> t(расч) со степенью свободы n-1
		Среднеквад-ратическое отклонение	S =	6					0,005				0,006				6
		Среднеарифметическое значение уровня ряда	=	0,00					0,00				0,00				0,00					(табл)=2,2621
	2.4.2	D( )=const= (с помощью F-критерия Фишера)		1,2	Дисперсия уменьшается. 2 условие D( )=const выполняется				2,0	Дисперсия уменьшается. 2 условие D( )=const выполняется			2,5	Дисперсия уменьшается. 2 условие D( )=const выполняется				0,7	Дисперсия уменьшается. 2 условие D( )=const выполняется				Если Fтабл > Fрасч, то гипотезу об уменьшении дисперсии принимаем с заданной вероятностью p.Для Fтабл используем степени свободы n₁=n/2-1, n₂=n/2-1
																							Fтабл=6,39
	2.4.3	Cov( =0 (c помощью d-критерия Дарвина Уотсона (D-W))	d ^расч=	1,64	По критерию D-W ряд остатков не коррели рован. 3 условие Cov =0 выполняется				1,86	По критерию D-W положительная автокорреляция присутствует . 3 условие Cov( =0 нарушается			2,04	По критерию D-W ряд остатков не коррелирован. 3 условие Cov( =0 выполняется				1,35	По критерию D-W положительная автокорреляция присутствует. 3 условие Cov( =0 нарушается				d₂<d(расч)<2 – не корр. d(расч)<d₁ – автокор. d₁<d(расч)<d₂ – не опред. Если d(расч)>2, то преобразуют по формуле d(расч)=4-d(расч), при наличии отриц.корр. Если же не определен, то в частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции. Если r₁расч>r₁табл, то гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть принята
		d_{1 табл}= 1,08 d_{2 табл} = 1,36 r_{1 табл}= 0,36 (для n<15)		0,38					4,7				0,4					0,3					d₁=1,08 d₂=1,36
2.5		Средняя относительная ошибка	Е =	0,36	модель построена с приемлемой точностью				0,32	модель построена с приемлемой точностью			0,36	модель построена с приемлемой точностью				0,3	модель построена с приемлемой точностью				Если Е_отн<15%, то считается, что модель построена с приемлемой точностью
		Вывод		МОДЕЛЬ АДЕКВАТНА ПО ДАННЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ					МОДЕЛЬ НЕ АДЕКВАТНА ПО ДАННЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ				МОДЕЛЬ АДЕКВАТНА ПО ДАННЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ				МОДЕЛЬ НЕ АДЕКВАТНА ПО ДАННЫМ ПОКАЗАТЕЛЯМ