4. Признак оптимальности злп
4.1. Если найдётся свободный вектор Aj (см жёлтый фон), у которого и есть положительные координаты, то полученный в этой итерации план не является оптимальным. Его можно улучшить за счёт введения в ортонормированный базис этого вектора (в симплексной таблице будем называть его ведущий столбец). Лучше всего для этого выбрать вектор с максимальным
. В нашем примере это будет
Следовательно, второй столбец будет ведущим и вектор А2 будем вводить в базис (j=2).
Имена всех векторов, входящих в базис записаны в столбце “Сб”. Чтобы найти, какой из них нужно вывести из базиса, надо заполнить столбец , каждый элемент которого вычисляется следующим образом (i-номер строки, напомню, j=2 ):
a22=-1<0, (j=2, i=2), поэтому Θ2=0, a12=+1>0, (j=2, i=1) Θ1=b1/a12=2/1=2, Θ1=2, a32=+3>0, (j=2, i=3) Θ3=b3/a32=14/3=14/3, Θ3=14/3 В строке с минимальным >0 находится вектор, выводимый из базиса (это 1-я строка). Эту строку будем называть “ведущая строка”. На пересечении ведущей (i-ой, у нас – 1-ой) строки и ведущего (j-го, у нас 2-го) столбца находится ведущий элемент (у нас a12=1).
Итак, над ведущим столбцом написано имя вектора, вводимого в базис (это А2) , а в самом начале ведущей строки – имя вектора, выводимого из базиса (это А3). В нашем примере
Следовательно,
вторая
ПЕРВАЯ строка – ведущая и базисный
вектор этой строки А3
выводим из базиса.
Вектор А3 был ортом Е2, теперь нужно, чтобы вектор А2=Е2. Эта операция выполняется с помощью одного шага метода полного исключения:
1) Ведущую строку (у нас – 1-я) делим на ведущий элемент (у нас a12=1) , получим новую ведущую строку для следующей симплексной таблицы;
2) все остальные элементы ведущего столбца обнуляем с помощью новой ведущей строки (это мы умеем – домножаем, складываем…).
В результате получим новую симплексную таблицу (первая итерация).
В нашем примере в первой итерации получили х1=0; х2=2; z1=8M+6. Или 8М-6?
Теперь для каждого вектора при неизвестном вычислить оценку по формуле: умножение векторов скалярное (см. выше)
В первой итерации план ещё не оптимальный, так как оценка
При этом следовательно, вектор А1 вводим в базис вместо вектора А6.
Переменная х6 - искусственная, следовательно, в следующих итерациях этот столбец учитывать не нужно.
Во второй итерации вводим в базис вектор А5 вместо вектора А4 и получаем третью итерацию, в которой все оценки
|
|
-1 |
-3 |
0 |
0 |
0 |
М |
θ |
NT |
||
|
Cб |
Базис |
B |
А1 |
А2 |
А3 |
А4 |
А5 |
А6 |
|
|
1 |
0 |
А3 |
2 |
-1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 min |
0 |
2 |
0 |
А4 |
+2 12 |
-1
3 |
+1
-1 |
0
0 |
0
1 |
0
0 |
0
0 |
0 |
|
3 |
М |
А6 |
-6 14 |
+3
1 |
-3
3 |
-3
0 |
0
0 |
0
-1 |
0
1 |
14/3 |
|
|
|
|
z0= 14М |
М+1 |
3М+3 max |
0 |
0 |
-М |
0 |
|
|
1 |
-3 |
А2 |
-1 2 |
+1
-1 |
0
1 |
-1
1 |
0
0 |
-1/3
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
А4 |
-1 14 |
-2
2 |
0
0 |
+2
1 |
0
1 |
+2/3
0 |
0 |
7
|
|
3 |
М |
А6 |
8 |
3 |
0 |
-3 |
0 |
-1 |
1 |
8/3 min |
|
|
|
|
z1= 8М-6 |
3М+3 max |
0 |
-3M-3 |
0 |
-М |
0 |
|
|
1 |
-3 |
А2 |
-1 14/3 |
0
0 |
0
1 |
+3/2
0 |
+1/2
0 |
+1/3
-1/3 |
|
0 |
2 |
2 |
0 |
А4 |
26/3 |
0 |
0 |
3 |
1 |
2/3 |
|
13 min |
|
3 |
-1 |
А1 |
-1 8/3 |
0
1 |
0
0 |
+3/2
-1 |
+1/2
0 |
+1/3
-1/3 |
|
0 |
|
|
|
|
z2= -50/3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4/3 max |
|
|
|
1 |
-3 |
А2 |
9 |
0 |
1 |
3/2 |
1/2 |
0 |
|
|
3 |
2 |
0 |
А5 |
13 |
0 |
0 |
9/2 |
3/2 |
1 |
|
|
|
3 |
-1 |
А1 |
7 |
1 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
z3= -34 |
0 |
0 |
-5 |
-2 |
0 |
|
|
4.2. Если в результате очередной операции получим, что все искусственные переменные (у нас х6 (это вместо w) ) выведены из условия задачи (равны нулю) и при этом оценки всех векторов-коэффициентов то полученный в этой итерации план является оптимальным.
В нашем примере третья итерация даёт оптимальный план: х1=7; х2=9; z0=-34.
4.3. Если в процессе решения обнаружится, все векторы, имеющие положительные оценки не имеют положительных координат, то целевая функция не имеет искомого оптимума.
4.4. Если в процессе решения окажется, что оценки всех векторов неположительны, но тем не менее имеются искусственные переменные не равные нулю, то исходная задача не имеет решения, система её ограничений противоречива.