Характеристики асимметрии и эксцесса

На практике проверка гипотезы о нормальности распределения остатков зачастую затруднена из-за небольшой длины временных рядов экономических показателей (n < 50). Поэтому проверка на нормальность может быть проведена приближенно, например на основе подхода, опирающегося на рассмотрение показателей асимметрии и эксцесса.

Как известно, при нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии (А) и эксцесса (Э), а также оценить их средние квадратические ошибки, зависящие от длины ряда n:

Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

, то гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается.

Составим вспомогательную таблицу для расчета асимметрии и эксцесса.

Y	T	y*t	t2	y* t2	t4	y(t)	y- y(t)=e	e2	e3	e4
49,4	-10	-494	100	4940	10000	90,63008	-41,2300779	1699,919	-70087,8	2889726
41,5	-9	-373,5	81	3361,5	6561	82,96195	-41,4619481	1719,093	-71277	2955281
41,8	-8	-334,4	64	2675,2	4096	83,25314	-41,4531429	1718,363	-71231,5	2952772
39,2	-7	-274,4	49	1920,8	2401	80,72945	-41,5294545	1724,696	-71625,7	2974575
41	-6	-246	36	1476	1296	82,47662	-41,4766234	1720,31	-71352,7	2959467
34,3	-5	-171,5	25	857,5	625	75,97327	-41,6732727	1736,662	-72372,4	3015994
32,7	-4	-130,8	16	523,2	256	74,42023	-41,7202338	1740,578	-72617,3	3029611
30,7	-3	-92,1	9	276,3	81	72,47894	-41,7789351	1745,479	-72924,3	3046698
32	-2	-64	4	128	16	73,74078	-41,7407792	1742,293	-72724,7	3035584
30,3	-1	-30,3	1	30,3	1	72,09068	-41,7906753	1746,461	-72985,8	3050124
31,7	1	31,7	1	31,7	1	73,44958	-41,7495844	1743,028	-72770,7	3038146
33,8	2	67,6	4	135,2	16	75,48795	-41,6879481	1737,885	-72448,9	3020244
36,4	3	109,2	9	327,6	81	78,01164	-41,6116364	1731,528	-72051,7	2998190
41	4	164	16	656	256	82,47662	-41,4766234	1720,31	-71352,7	2959467
43,6	5	218	25	1090	625	85,00031	-41,4003117	1713,986	-70959,5	2937747
50,6	6	303,6	36	1821,6	1296	91,79486	-41,1948571	1697,016	-69908,3	2879864
61,2	7	428,4	49	2998,8	2401	102,0837	-40,8837403	1671,48	-68336,4	2793846
64,1	8	512,8	64	4102,4	4096	104,8986	-40,7986234	1664,528	-67910,4	2770652
59,9	9	539,1	81	4851,9	6561	100,8219	-40,9218961	1674,602	-68527,9	2804290
58,4	10	584	100	5840	10000	99,36592	-40,9659221	1678,207	-68749,3	2816378

А=-1,00009

Э=38,43799

|38,43799+6/21|≥2*

38,723≥1,55215, следовательно, гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается.

Автокорреляция в остатках.Критерий Дабрина – Уотсона.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. приложение E) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

– есть положительная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается ;

– зона неопределенности;

– нет оснований отклонять , т.е. автокорреляция остатков отсутствует;

– зона неопределенности;

– есть отрицательная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .

Составим таблицу для расчета критерия Дарбина-Уотсона:

y	t	y(t)	y- y(t)=e(t)	e(t)2	(e(t)-e(t-1))2
49,4	-10	90,63008	-41,2300779	1699,919
41,5	-9	82,96195	-41,4619481	1719,093	0,053763757
41,8	-8	83,25314	-41,4531429	1718,363	0,000077531456
39,2	-7	80,72945	-41,5294545	1724,696	0,005823474
41	-6	82,47662	-41,4766234	1720,31	0,002791132
34,3	-5	75,97327	-41,6732727	1736,662	0,038670967
32,7	-4	74,42023	-41,7202338	1740,578	0,002205339
30,7	-3	72,47894	-41,7789351	1745,479	0,003445842
32	-2	73,74078	-41,7407792	1742,293	0,001455868
30,3	-1	72,09068	-41,7906753	1746,461	0,002489621
31,7	1	73,44958	-41,7495844	1743,028	0,001688463
33,8	2	75,48795	-41,6879481	1737,885	0,003799041
36,4	3	78,01164	-41,6116364	1731,528	0,005823474
41	4	82,47662	-41,4766234	1720,31	0,018228507
43,6	5	85,00031	-41,4003117	1713,986	0,005823474
50,6	6	91,79486	-41,1948571	1697,016	0,04221157
61,2	7	102,0837	-40,8837403	1671,48	0,096793715
64,1	8	104,8986	-40,7986234	1664,528	0,007244884
59,9	9	100,8219	-40,9218961	1674,602	0,015196165
58,4	10	99,36592	-40,9659221	1678,207	0,001938286

d= =0,00001

При k=1 и n=20 табличные значения и соответственно равны 1, 2 и 1, 41, следовательно, подтверждается гипотеза о положительной автокорреляции остатков.