Подбор параметров уравнения регрессии с помощью полиномиальной модели.
Вопрос о выборе кривой — основной при выравнивании ряда. Существует несколько подходов крещению этой задачи, однако все они предполагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому остановимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике.
Среди кривых роста I класса прежде всего следует выделить
класс полиномов:
,
где аi(i=0,1,2,3…р)
- параметры многочлена
t- независимая переменная (время)
Для прямой параметры многочлена вычисляются по формулам:
Для параболы:
Для нахождения параметров полинома третьей степени необходимо решить систему из 4х линейных уравнений:
Расчет параметров линейной и параболической модели
y |
t |
y*t |
|
y* |
|
49,4 |
-10 |
-494 |
100 |
4940 |
10000 |
41,5 |
-9 |
-373,5 |
81 |
3361,5 |
6561 |
41,8 |
-8 |
-334,4 |
64 |
2675,2 |
4096 |
39,2 |
-7 |
-274,4 |
49 |
1920,8 |
2401 |
41 |
-6 |
-246 |
36 |
1476 |
1296 |
34,3 |
-5 |
-171,5 |
25 |
857,5 |
625 |
32,7 |
-4 |
-130,8 |
16 |
523,2 |
256 |
30,7 |
-3 |
-92,1 |
9 |
276,3 |
81 |
32 |
-2 |
-64 |
4 |
128 |
16 |
30,3 |
-1 |
-30,3 |
1 |
30,3 |
1 |
31,7 |
1 |
31,7 |
1 |
31,7 |
1 |
33,8 |
2 |
67,6 |
4 |
135,2 |
16 |
36,4 |
3 |
109,2 |
9 |
327,6 |
81 |
41 |
4 |
164 |
16 |
656 |
256 |
43,6 |
5 |
218 |
25 |
1090 |
625 |
50,6 |
6 |
303,6 |
36 |
1821,6 |
1296 |
61,2 |
7 |
428,4 |
49 |
2998,8 |
2401 |
64,1 |
8 |
512,8 |
64 |
4102,4 |
4096 |
59,9 |
9 |
539,1 |
81 |
4851,9 |
6561 |
58,4 |
10 |
584 |
100 |
5840 |
10000 |
853,6 |
|
747,4 |
770 |
38044 |
50666 |
Линейная модель: y=42.68+0,97t
Параболическая модель: y=195,9296+0,97t-0,44t2
Составим вспомогательную таблицу для расчета параметров полиномиальной модели 3 степени.
y |
t |
y*t |
|
y* |
|
|
у* |
|
|
49,4 |
1 |
49,4 |
1 |
49,4 |
1 |
1 |
49,4 |
1 |
1 |
41,5 |
2 |
83 |
4 |
166 |
8 |
16 |
332 |
32 |
64 |
41,8 |
3 |
125,4 |
9 |
376,2 |
27 |
81 |
1128,6 |
243 |
729 |
39,2 |
4 |
156,8 |
16 |
627,2 |
64 |
256 |
2508,8 |
1024 |
4096 |
41 |
5 |
205 |
25 |
1025 |
125 |
625 |
5125 |
3125 |
15625 |
34,3 |
6 |
205,8 |
36 |
1234,8 |
216 |
1296 |
7408,8 |
7776 |
46656 |
32,7 |
7 |
228,9 |
49 |
1602,3 |
343 |
2401 |
11216,1 |
16807 |
117649 |
30,7 |
8 |
245,6 |
64 |
1964,8 |
512 |
4096 |
15718,4 |
32768 |
262144 |
32 |
9 |
288 |
81 |
2592 |
729 |
6561 |
23328 |
59049 |
531441 |
30,3 |
10 |
303 |
100 |
3030 |
1000 |
10000 |
30300 |
100000 |
1000000 |
31,7 |
11 |
348,7 |
121 |
3835,7 |
1331 |
14641 |
42192,7 |
161051 |
1771561 |
33,8 |
12 |
405,6 |
144 |
4867,2 |
1728 |
20736 |
58406,4 |
248832 |
2985984 |
36,4 |
13 |
473,2 |
169 |
6151,6 |
2197 |
28561 |
79970,8 |
371293 |
4826809 |
41 |
14 |
574 |
196 |
8036 |
2744 |
38416 |
112504 |
537824 |
7529536 |
43,6 |
15 |
654 |
225 |
9810 |
3375 |
50625 |
147150 |
759375 |
11390625 |
50,6 |
16 |
809,6 |
256 |
12953,6 |
4096 |
65536 |
207257,6 |
1048576 |
16777216 |
61,2 |
17 |
1040,4 |
289 |
17686,8 |
4913 |
83521 |
300675,6 |
1419857 |
24137569 |
64,1 |
18 |
1153,8 |
324 |
20768,4 |
5832 |
104976 |
373831,2 |
1889568 |
34012224 |
59,9 |
19 |
1138,1 |
361 |
21623,9 |
6859 |
130321 |
410854,1 |
2476099 |
47045881 |
58,4 |
20 |
1168 |
400 |
23360 |
8000 |
160000 |
467200 |
3200000 |
64000000 |
853,6 |
210 |
9656,3 |
2870 |
141760,9 |
44100 |
722666 |
2297158 |
12333300 |
216455810 |
Согласно МНК, составим систему линейных уравнений
Отсюда,
=0,057
=0,278
=1,422
=-0,075
Графический
анализ свидетельствует о том, что
линейную модель можно признать удачной,
она подходит для описания тенденции
этого временного ряда. Полученное же
на ее основе прогнозное значение будет
сильно занижено.