Автокорреляция уровней временного ряда.

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

где

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Поскольку данная совокупность имеет 20 элементов, следовательно максимальный лаг равен 5.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

1	49,4	-	-	-	-	-	-
2	41,5	49,4	-3,42632	7,5473684	-25,8597	11,73964	56,96277
3	41,8	41,5	-3,12632	-0,352632	1,102438	9,77385	0,124349
4	39,2	41,8	-5,72632	-0,052632	0,301385	32,79069	0,00277
5	41	39,2	-3,92632	-2,652632	10,41507	15,41596	7,036454
6	34,3	41	-10,6263	-0,852632	9,060332	112,9186	0,726981
7	32,7	34,3	-12,2263	-7,552632	92,34086	149,4828	57,04224
8	30,7	32,7	-14,2263	-9,152632	130,2082	202,3881	83,77066
9	32	30,7	-12,9263	-11,15263	144,1624	167,0896	124,3812
10	30,3	32	-14,6263	-9,852632	144,1077	213,9291	97,07435
11	31,7	30,3	-13,2263	-11,55263	152,7988	174,9354	133,4633
12	33,8	31,7	-11,1263	-10,15263	112,9614	123,7949	103,0759
13	36,4	33,8	-8,52632	-8,052632	68,65928	72,69806	64,84488
14	41	36,4	-3,92632	-5,452632	21,40875	15,41596	29,73119
15	43,6	41	-1,32632	-0,852632	1,130859	1,759114	0,726981
16	50,6	43,6	5,673684	1,7473684	9,914017	32,19069	3,053296
17	61,2	50,6	16,27368	8,7473684	142,3519	264,8328	76,51645
18	64,1	61,2	19,17368	19,347368	370,9603	367,6302	374,3207
19	59,9	64,1	14,97368	22,247368	333,1251	224,2112	494,9454
20	58,4	59,9	13,47368	18,047368	243,1645	181,5402	325,7075
	853,6	795,2	-49,4	-11,34*1018	1962,314	2374,537	2033,507
Ср.зн.	42,68	41,85263	-	-	-	-	-

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле:

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

1	49,4	-	-	-	-	-	-
2	141,5	-	-	-	-	-	-
3	41,8	49,4	-5,62222	8,55	-48,07	31,60938	73,1025
4	39,2	41,5	-8,22222	0,65	-5,34444	67,60494	0,4225
5	41	41,8	-6,42222	0,95	-6,10111	41,24494	0,9025
6	34,3	39,2	-13,1222	-1,65	21,65167	172,1927	2,7225
7	32,7	41	-14,7222	0,15	-2,20833	216,7438	0,0225
8	30,7	34,3	-16,7222	-6,55	109,5306	279,6327	42,9025
9	32	32,7	-15,4222	-8,15	125,6911	237,8449	66,4225
10	30,3	30,7	-17,1222	-10,15	173,7906	293,1705	103,0225
11	31,7	32	-15,7222	-8,85	139,1417	247,1883	78,3225
12	33,8	30,3	-13,6222	-10,55	143,7144	185,5649	111,3025
13	36,4	31,7	-11,0222	-9,15	100,8533	121,4894	83,7225
14	41	33,8	-6,42222	-7,05	45,27667	41,24494	49,7025
15	43,6	36,4	-3,82222	-4,45	17,00889	14,60938	19,8025
16	50,6	41	3,177778	0,15	0,476667	10,09827	0,0225
17	61,2	43,6	13,77778	2,75	37,88889	189,8272	7,5625
18	64,1	50,6	16,67778	9,75	162,6083	278,1483	95,0625
19	59,9	61,2	12,47778	20,35	253,9228	155,6949	414,1225
20	58,4	64,1	10,97778	23,25	255,2333	120,5116	540,5625
	853,6	735,3	-90,9	28,4*1015	1525,065	2704,421	1689,705
Ср.зн.	42,68	40,85	-	-	-	-	-

Следовательно,

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней
1	0,89301
2	0,696836
3	0,445827
4	0,538281
5	0,555058
6	0,523606
7	0,482063
8	0,435473
9	0,311574
10	0,24
11	0,21958
12	0,190289
13	0,164227
14	0,132455
15	0,098454

Коррелограмма:

Поскольку наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию (тренд).

Также, автокорреляционная функция не демонстрирует свойство монотонного убывания по абсолютной величине, следовательно, исследуемый ряд не является стационарным.