Билет №15.
Средняя линия треугольника и трапеции (определение). Теоремы о средней линии треугольника и трапеции.
2. Построение окружности, вписанной в треугольник и описанной около него.
3. Найдите отношение площадей треугольника и четырехугольника, на которые рассекается данный
треугольник своей средней линией.
Найдите отношение площадей кругов вписанного и описанного около данного равностороннего треугольника.
Билет №16.
1. Признаки подобия треугольников (доказательства).
2. Построение касательной к окружности (два случая).
3. ABCD – квадрат со стороной а. Вершины С, А и В являются серединами отрезков ВМ, ND и DF
соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника NFM.
Площадь прямоугольника равна 520 м2, а отношение его сторон равно 2 : 5. Найдите периметр данного прямоугольника.
Билет №17.
1. Вывод формулы площади треугольника . Формула Герона (без вывода).
2. Выражение координат середины отрезка через координаты его концов (рассмотреть все случаи).
3. Найдите угол между векторами и , если
4. Дано . Вычислите .
Билет №18.
1. Вывод формулы площади параллелограмма ; .
2. Вывод формулы радиуса описанной и вписанной окружностей (для треугольника).
3. В равнобедренную трапецию вписан круг радиуса 3. Найдите площадь трапеции, если её меньшее
основание равно 3.
В равнобедренную трапецию с основаниями 18 см и 6 см вписан круг. Найдите его радиус и углы трапеции.
Билет №19.
Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).
2. Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности в координатах.
3. Найдите острые углы треугольника АВС, если угол , , BK = 1, где СК – высота
треугольника;
В треугольник АВС вписана окружность. С1, В1 – точки ее касания со сторонами АВ и АС соответственно; АС1 = 7, ВС1 = 6, В1С = 8. Найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника АВС окружностей.
Билет №20.
1. Теорема Пифагора (прямая и обратная).
2. Правильный многоугольник (определение). Построение правильного треугольника
четырехугольника, шестиугольника.
3. Найдите площадь треугольника с вершинами А (1; 4), В (–3; –1), С (2;–2).
4. Даны точки . Найдите все такие точки В оси абсцисс, что треугольник КРВ –
равнобедренный.
Билет №21.
1. Теорема синусов.
2. Построение прямой, параллельной данной.
3. Найдите площадь квадрата, вписанного в ромб со стороной 6 см и углом 30° (сторона квадрата
параллельна диагонали ромба).
Найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины а и b) и делящего трапецию на два подобных четырехугольника.
Билет №22.
1. Теорема косинусов.
2. Деление отрезка пополам (два способа).
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трех попарно касающихся окружностей радиусов
1, 1 и .
Круги радиусов 1, 6 и 14 касаются друг друга. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах данных кругов.
Билет №23.
1. Теорема Менелая (прямая и обратная). Доказательство одной из них.
2. Вертикальные углы (определение). Свойства вертикальных углов. Смежные углы.
3. Докажите, что биссектриса АА1 треугольника АВС вычисляется по формуле
Докажите, что медиана треугольника со сторонами а, b, c, проведенная к стороне а, вычисляется из соотношения
Билет №24.
1. Теорема Чевы (прямая и обратная). Доказательство одной из них.
2. Описанный четырехугольник.
3. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника, а также продолжений его
обоих катетов, имеет радиус q. Найдите периметр треугольника.
Перпендикуляр, опущенный из середины одного катета на гипотенузу, равен 6 см, а середина гипотенузы отстоит от этого же катета на 7,5 см. найдите стороны этого треугольника.