Индивидуальное задание 3 по спецглавам матана. Вариант 14 / Задание3
.docТФКП
домашнее задание 3
Вычеты. Дифференциальные уравнения. Краевые задачи.
Коэффициенты
и начальные данные заданы.
Требуется описать интегральный оператор, решающий задачу Коши.
Дополнительное задание. Описание интегрального оператора, решающего краевую задачу и анализ условий разрешимости задачи (точная постановка приведена ниже)
План выполнения задания
1)
найти корни характеристического
многочлена
(все корни целые, по модулю не больше 4)
2)
проведите разложение на простейшие
докажите,
что
,
где Q(z)
-- многочлен.
3)
пусть
,
,
докажите, что
,
4)
вычислите
и
,
m=1,2,3,
какую задачу Коши решает эта функция
?
5)
пусть
,
,
докажите, что
,
m=1,2,3,
6)
вычислите
и
,
m=1,2,3,
k=0,1,2,3,
7)
рассмотрите матрицу
докажите,
что определитель матрицы
не равен нулю и следовательно, функции
образуют
базис пространства решений
8)
* вычислите обратную матрицу для
,
9)!!
исправлено!! проверьте, что функция
решает поставленную в условии задачу
Коши.
10)
укажите многочлен Q(z)
такой, что
Дополнительное задание
11) рассмотрим вторую задачу Коши
докажите, что решением этой задачи является функция !! исправлено!!
,
где
12)
докажите, что если функция F(z)
решает задачу Коши с начальными данными
в точке z=0
,
то она же решает задачу Коши с нач.
условиями
т.е.
-- матрица перехода для начальных данных,
13) рассмотрим краевую задачу -- условия на решения заданны в двух точках
где
фиксированные матрицы (4х4),
-- фиксированный вектор размерности 4,
-- вектор значений решения и его первых
трех производных в 0,
--
аналогичный вектор для точки 1,
докажите,
что поставленная краевая задача
эквивалентна задаче Коши с начальными
условиями
14) сформулируйте общие условия разрешимости краевой задачи,
15)
для исходных значений
выясните, какие из краевых задач имеют
решение
%%%%%%%%%%%%%% ПРИМЕР %%%%%%%%%%%
v.1 распечатка условия задания
"pk", -6, 5, 5, -5, 1 коэффициенты характеристического многочлены
"zk", 1, -1, 2, 3 корни многочлена
"yk", -2, -3, 4, -4 начальные условия в нуле для задачи Коши
РЕШЕНИЕ "ak", 1/4, -1/24, -1/3, 1/8 коэффициенты разложения 1/P(z)
f0[z]= -1/(24*E^z) + E^z/4 - E^(2*z)/3 + E^(3*z)/8 первая базисная функция
остальные базисные функции получаются последовательным дифференцированием
(пояснить как это происходит в терминах контурного интеграла )
Матрица Вронского в нуле (! не вырождена )
"Y0",
0, 0, 0, 1
0, 0, 1, 5
0, 1, 5, 20
1, 5, 20, 70
!! если F(z)=c0 f0(z)+…+c3 f3(z) решение задачи Коши, то
треугольная
система легко решается и вместе с
коэффициентами C_k
мы получаем обратную матрицу
искомый многочлен
%%%%%%%%%% конец обязательной части %%%%%%%%%%
"Yi0",
5., 5., -5., 1.
5., -5., 1., 0.
-5., 1., 0., 0.
1., 0., 0., 0.
матрица Вронского для z=1
"Y1",
0.7119, 3.3009, 13.4083, 48.7794 ,
3.3009, 13.4083, 48.7794, 164.6220 ,
13.4083, 48.7794, 164.6220, 531.976 ,
48.779, 164.6220, 531.976, 1673.325
Любое
решение дифференциального уравнения
есть
при
этом
и
т.о.
и мы получили матрицу T перехода от начальных условий в нуле к начальным условиям в 1
"T",
1.801, 0.463, -0.258, 0.711 ,
4.271, -1.757, -3.096, 3.300 ,
19.805, -12.233, -18.262, 13.408 ,
80.450, -47.236, -79.275, 48.779
Решим с помощью этой матрицы краевую задачу
пусть
F(z) решение,
перепишем краевые условия в матричном
(универсальном) виде
здесь
и
-- постоянные, которые мы можем выбирать,
что бы поставить равносильную задачу
Коши
Первые два уравнения являются тождествами, два последних уравнения порождают систему (2х2) для искомых параметров u_0, u_1 с матрицей коэффициентов Td и столбцом свободных членов bk
"Td", -0.258, 0.711 , -- матрица коэффициентов
-3.096, 3.300
"det", 1.350 -- определитель Td не равен 0
"bk", 8.993, -0.730 -- правая часть
"an", 22.366, 20.758 -- решение системы u_0, u_1
чтобы получить решение краевой задачи достаточно решить задачу Коши в 0 с данными (y_0,y_1,u_0,u_1)
"ck", -116.07, 27.36, 7., -2. – коэффициенты, решающие задачу Коши
"ck"=Yi0 (y_0,y_1,u_0,u_1)
проверка F(0),F'(0),F(1),F'(1)
"ans" -2., -3., 4., -4.