Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
118
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
88.58 Кб
Скачать

1.определение предела ф-ии в точке: число А называется пределом ф-ии f(x) в (.) х0, если для любого положительного числа  найдётся число  зависящее от , так что для всех х принадлежащих выколотой окрестности точки х0 выполняется неравенство f(х)-А< 

односторонние пределы ф-ии в точке: А1 – левосторонний предел f(x) в (.) x0 если для всех  >0 существует =()>0 для всех х, таких что х0-<x<x0 то f(х)-А1< 

А1 =(x0 - 0) = lim f(х) (x x0-0). А2 –правосторонний предел f(x) в (.) x0 если для всех  >0 существует =()>0 для всех х, таких что х0<x<x0+ то f(х)-А2< 

А2 =(x0 + 0) = lim f(х) (x x0+0)

Условие существования предела: Чтобы lim f(х) (x x0) существовал необходимо, чтобы f(x) имела левый и правый односторонние пределы при x x0 слева и справа соответственно, и чтобы эти односторонние пределы были равны между собой. Для того чтобы ф-ия f(х) имела предел при x x0 необходимо, чтобы существовало такое >0, что на выколотой -окрестности (.)x0, ф-ия f(х) была бы ограниченной.

2.Определение б.м. ф-ии: (х)- бесконечно малая ф-ия в (.) х0, если предел этой ф-ии в (.) х0 равен 0, т.е. для любого >0, найдётся число x, такое что для любого х, 0< x-x0 < , то

(х)< . (х) - б.м. при x x0 если lim (х)=0

теорема о связи предела ф-ии и б.м.:

lim f(х)( x x0) = A  f(х) = A+(х), где (х) – б.м. при x x0 (*)

док-во:1) необходимость (*)

lim f(х)( x x0) = A >0 =()>0 x, 0< x-x0 <  f(х)-А< 

(**) (х)= f(х)-А>0 для всех =()>0 x, 0< x-x0 <   (х) < 

(**)f(х) = f(х) = A+(х), где (х) – б.м. при x x0

2) f(х) = A+(х), где (х) – б.м. при x x0  lim f(х)( x x0) = А

(х) – б.м. при x x0  (х) <  (х)= f(х)-А  lim f(х)( x x0) = А

3.теорема о единственности предела: ф-ия f(х) не может иметь более одного предела в точке х0 (если предел ф-ии существует только один).

Док-во (от противного) пусть существуют 2 предела lim f(х)( x x0) = А и lim f(х)( x x0) = В (А  В)

По теореме о связи предела и б.м. можем записать: f(х) = A+(х); f(х) = В+(х); где (х) и (х) б.м. при x x0

0 = А – В + [(х) - (х)] [(х) - (х)] = (х) = б.м. при x x0  (х) = В – А  0, наше предположение верно  ф-ия не может иметь более одного предела.

Теорема2: произведение б.м. на ограниченную ф-ию – есть б.м.

Док-во: 1) пусть f(х) – ограничена в окрестности (.)х0. Существует к>0, такое что f(х)<= к для всех х( х0 - , х0 + )

2) (х) – б.м. при x x0.Для всех >0 существует =()>0, х, 0< x-x0 <   (х)< \к

рассмотрим произведение  f(x)* (х)  = f(x)* (х)<к*\к=. Для всех >0 существует =()>0, х, 0< x-x0 <   f(x)* (х) < т.е. lim f(x)* (х)( x x0) = 0

f(x)* (х) - б.м. при x x0

4. Теорема о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций

1)сумма: lim f(х)( x x0) = А  f(х) = A+(х) ((х) - б.м. при x x0)

lim g(х)( x x0) = B  g(х) = В+(х) ((х) - б.м. при x x0)

f(x)+g(x) = (A+B) + [(х)+(х)] [(х) + (х)] = (х) = б.м. при x x0 lim [f(x)+g(x)] = A+ B = lim f(х)( x x0) + lim g(х)( x x0)

2)разность: : lim f(х)( x x0) = А  f(х) = A+(х) ((х) - б.м. при x x0)

lim g(х)( x x0) = B  g(х) = В+(х) ((х) - б.м. при x x0)

f(x)-g(x) = (A-B) + [(х)-(х)] [(х) - (х)] = (х) = б.м. при x x0 lim [f(x)-g(x)] = A- B = lim f(х)( x x0) - lim g(х)( x x0)

3)произведение:

4)частное: f(х)\ g(х)-A\B=(A+(х))\(B+(х))-A\B=(A*B+B*(х)- A*B-A*(х))\B*[B+(х)]= (B*(х)- A*(х))\ B*[B+(х)] - б.м. при x x0 (_=(х))

f(х)\ g(х)-A\B = (х)  f(х)\ g(х)= A\B+ (х) - б.м. при x x0  lim f(х)\ g(х) (x x0) = A\B = lim f(х) (x x0) \ lim g(х) (x x0)

5.Теорема о сжатой ф-ии (или о двух ментах): U(x),V(x),W(x) определены в (a;b) и (.) х0(a;b)

если 1) U(x)<=V(x)<=W(x) для всех х(a;b) 2) lim U(х) (x x0) = lim W(х) (x x0)=A, тогда lim V(х) (x x0)=A

док-во: U(x)<=V(x)<=W(x) U(x)-А<=V(x)-А<=W(x)-А

lim U(х) (x x0)=A; >0 найдётся 1 = 2()>0 для любого х, 0< x-x0 <  U(х)-А< 

lim W(х) (x x0)=A; >0 найдётся 1 = 2()>0 для любого х, 0< x-x0 <  W(х)-А< 

  1. -< U(х)-А<

  2. -< W(х)-А<

для любого х, 0< x-x0 < 1

для любого х, 0< x-x0 < 2 =min{1;2}

-<U(x)-А<=V(x)-А<=W(x)-А<?(2)

>0 найдётся 1 = 2()>0 для любого х, 0< x-x0 <  V(х)-А< 

6.Теорема о сохранении знака ф-ии имеющей предел: Пусть f(x) определена в (a;b) и (.) х0(a;b). Если lim f(х)( x x0) = А > 0, то найдём >0,то

док-во: lim f(х)( x x0) = А >0 найдётся 1 = 2()>0 для любого х, 0< x-x0 <  f(х)-А< 

< f(х)-А< для любого х, 0< x-x0 < 

A- <f(x)< A+  для любого х, 0< x-x0 < 

Пусть  =А\2>0; существует  =*(А\2)>0  f(x)> A- = A-A\2 =A\2>0

x(x0-; x0+) x-x0 <   x(x0-; x0+)

теорема о предельном переходе в неравенстве: 1) если f(x)<=g(x) в некоторой окрестности (.) х0 2) lim f(х)( x x0) = А; lim g(х)( x x0) = А, то A<=B, т.е. lim f(х)( x x0) <= ; lim g(х)( x x0)

док-во: (от противного): Пусть А> B lim[g(x)- f(x)]( x x0) =B-A<0 ( x x0 по теореме о сохр. ф-ии имеющей предел)

Пусть >0: g(x)- f(x)<0 x(x0-; x0+), а это противоречит условию 1

А=lim f(х)( x x0)< lim g(х)( x x0)=В

7. Первый замечательный предел: lim sinx\x(x0)=1

Пусть х – значение аргумента удовлетворяющее неравенству

-<x< S∆obd < Sсектораobd< S∆ocd

S∆obd = 0.5sinx; Sсектораobd =0.5x; S∆ocd = 0.5tgx;

0.5sinx<0.5x<0.5tgx sinx<x<tgx (\sinx)

a)x>0 1<x\sinx<1\cosx 1=lim(x0+0) = lim(x0+0) x\sinx== lim(x0+0) 1\cosx

б) x<0 1\cosx<x\sinx<1 1=lim(x0-0) = lim(x0-0) x\sinx== lim(x0-0) 1\cosx

lim(x0) x\sinx=lim1\(x\sinx)(x0)= lim(x0)1\ lim(x0) x\sinx=1\1=1

8. Предел ф-ии на бесконечности: limf(x)(x)=A

A-предел ф-ии f(x) при x0, если для любого б.м. найдётся число  такое, что:

>0 найдётся =()>0; x, x>f(x)-A<

x> x<-; x>;

Числовая последовательность, предел числовой последовательности: Числовая последовательность - ф-ия заданная на множестве натуральных чисел nN Xn = f(n)

Последовательность имеющая предел называется сходящаяся. Последовательность не имеющая предела – расходящаяся. Последовательность все члены которой равны – стационарная.

a=limXn(n)

если >0 N=N():n>N Xn-a<

Xn-a<  a-<Xn<a+

Показать, что lim1\n(n)=0

>0 1\n-0<1\n<n> x>=[x] n>[1\]=N >0 N=[1\]:n>N 1\n<

9.Монотонные последовательности: Для числовой последовательности справедливы все теоремы о пределах ф-ии.

1){Xn}-ограничена сверху если  М: Хn<=M n>=N

2){Xn}-ограничена снизу если  М: Хn>=M n>=N

3) {Xn}-ограниченная если она ограничена и сверху и снизу

 m, M; m<=Xn<=M n>=N

{Xn} если Хn+1>=Xn nN

{Xn} если Хn+1<=Xn nN

Если эти неравенства строгие то последовательность – строго убывающая или возрастающая. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Теорема о пределе монотонной последовательности: 1) если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет предел 2) если последовательность убывает и ограничена снизу, то она имеет предел  всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

10. Лемма Бернули: для всякого вещественного n>-1 n (1+h)n>=1+nh (*)

док-во (метод мат индукции):

1)установим базовые ф-ии n=1 (1+n)1=1+1h

2)индуктивное предположение: предположим, что n=k неравенство (*) справедливо

3)индуктивный переход kk+1 (*) сохраняется

(1+h)k+1=(1+h)k(1+h)>=(1+kh)*(1+h)=1+kh+h+kh2>=0 наше предположение верно.

2-ой замечательный предел (1+б.м.)б.б.=1\б.м.

lim(x)(1+1\x)x=e; lim(x0)(1+x)1\x=e;

lim(x)(1+\x)x= lim(x)(1+\x)x\*=e; б.м.=\х; б.б.=х\

log с основанием е называется натуральным логарифмом e>1

Следствия из 2-го замечательного предела:

1)lim(x0)(ln(1+x))\x=1 (0\0) lim(x0)(ln(1+x))\x=lim(x0)ln(1+x)1\x=

=ln[lim(x0)(1+x)1\x]

2)lim(x0)(ax-1)\x=lna (0\0) U= ax-10 ax=U+1 x0

x=loga(U+1)=ln(U+1)\lna lim(U0)U\ln(U+1)= lim(U0)1\ln(U+1)\Ulna=1\lim ln(U+1)\Ulna=lna

11.б.б. и б.м. ф-ии: ограниченная ф-ия f(x) – б.м. при хх0 если lim(xx0)f(x)=0, т.е. если для всех  >0 существует =()>0 для любого х, 0< x-x0 <  f(x)<

ограниченная ф-ия f(x) – б.б. при хх0 если lim(xx0)f(x)=, т.е. если для всех  >0 существует =()>0 для любого х, 0< x-x0 <  f(x)>

связь: 1) ф-ия обратная б.м. есть б.б. 2)если f(x) – б.б. при x x0, то ф-ия 1\f(x) – б.м. при x x0

сравнение б.м. пусть (х) и (х) – б.м. при x x0 т.е. lim (х)( x x0)=0; . lim (х)( x x0)=0;

1) Если lim (х)\ (х) ( x x0)=0, то говорят, что (х)-б.м. более высокого порядка чем (х)  0 (х)=0((х)) (x x0)

2) Если lim (х)\ (х) ( x x0), то говорят, что (х)-б.м. более высокого порядка чем (х) (х)=0( (х)) (x x0)

3) Если lim (х)\ (х) ( x x0)=А0 (х) и (х) – б.м. одного порядка (х)=0((х)) (x x0) о,О – символы Ландау

4) Если lim (х)\ (х) ( x x0)=1 (х) и (х) – эквивалентные б.м (х) ~ (х) ( x x0)

это означает, что в окрестности (.)х0 ф-ии (х) и (х) ведут себя почти одинаково

5) Если lim (х)\ (х) ( x x0) не существует то говорят что б.м. (х) и (х) несравнимы

12.Непрерывност ф-ии в точке: f(x) – непрерывна в (.)x0, если lim f(х)( x x0) = f(х0)

по Коши: f(x) – непрерывна в (.)x0, если >0 найдётся  = ()>0 для любого х, x-x0 <  f(х)- f(х0)< 

на языке приращений: х=х-х0 – приращение аргумента в точке х0; f=f(x)-f(х0) – приращение ф-ии в точке х0; f(x) – непрерывна в (.)x0, если >0 найдётся  = ()>0 для любого х, х<f< limf( x x0)=0; Ф-ия f(x) – непрерывна в (.)x0,если б.м. приращение аргумента соответствует б.м. приращению ф-ии.

Необходимое и достаточное условие непрерывности: lim f(х)( x x0) = f(х0) lim f(х)( x x0-0)(x<0)= lim f(х)( x x0+0)(x>0)= f(х)

Алгебраические операции с непрерывными ф-ми: Пусть f(x) и g(x) – непрерывны в (.) х0, тогда: 1) f(x)  g(x) – непрерывны в (.) х0; 2) f(x) * g(x) непрерывны в (.) х0; 3) f(x) \ g(x) непрерывны в (.) х0; Алгебраические операции с непрерывными ф-ми не выводят их из класса непрерывных.

13. Теорема о непрерывности суперпозиций непрерывных ф-ий: пусть F(x) = f(g(x)) -

суперпозиция ф-ии f и g (сложная ф-ия). Если ф-ия f(y) – непрерывна в (.)х0, а ф-ия f(y) – непрерывна в (.) y0= g(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в (.) х0.

Док-во: возьмём произвольное  >0

1) Если f(y) – непрерывна в (.) y0= g(x0), то  >0 >0: y, y-y0<f(y)-f(y0)< (*)

2) Если g(y) – непрерывна в (.) x0 f, то >0  >0: x, x-x0<g(x)-g(x0)< (**)

(*)и(**): >0>0: x, x-x0< F(x)-F(x0)=f(y(x))-f(y(x0))<

lim(x x0)f(x)= lim(x x0)f(g(x))= f(g(x0))=f(x0)

14.Точки разрыва ф-ии Необходимое и достаточное условие непрерывности: lim f(х)( x x0) = f(х0) lim f(х)( x x0-0)(x<0)= lim f(х)( x x0+0)(x>0)= f(х). Определение: х0 называется (.) разрыва f(x) если в этой точке ф-ия не определена или определена но не является непрерывной. (.)х0 – (.) разрыва 1-го рода ф-ии f(x) если 1) lim f(х)( x x0-0)= lim f(х)( x x0+0) f(х); 2)либо ) lim f(х)( x x0-0)lim f(х)( x x0+0)

(.)х0 называется (.) разрыва f(x) если оба односторонних предела существуют либо они не равны между собой и конечны, либо равны но не равны (.)х0

1)(.)х0 – (.) устранимого разрыва 1-го рода

2) (.)х0 – (.) неустранимого разрыва 1-го рода

[lim f(х)( x x0-0)-lim f(х)( x x0+0)]

(.)х0 – (.) разрыва 2-го рода если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.

15. Непрерывные ф-ии на промежутках: f(x) называется непрерывной на [a,b] если она непрерывна в каждой точке этого промежутка

Теорема Вейристрасса: Если f(x) непрерывна на [a,b], то она 1)ограничена на [a,b] 2) достигает на [a,b] своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной ф-ии: пусть f(x) – непрерывна на [a,b] f(x)=A, f(x)=B и AB, тогда С – заключена между А и В (.)х0[a,b]: f(x0)=C

Геометрически это означает, что прямая y=C обязательно пересечёт график непрерывной ф-ии на промежутке[a,b]. Следствие: если f(x) непрерывна на [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков, то х0[a,b] f(x0)=a x0 – корень ур-ия f(x)=0

16. Экспоненциальные и гиперболические ф-ии их св-ва и графики:

экспоненциальной ф-ей или экспонентой называется ф-ия с основанием е

гиперболические ф-ии

(1) гиперболический синус y=shx=(ex-e-x)\2=(e2x-1)\2ex 1) X=R=(-;+) Y=R=(-;+) 2)нечётная sh(-x)=-shx график симметричен относительно начала координат 3)sh0=0 4), непрерывная в(.) х.

(2) гиперболический косинус y=chx=(ex+e-x)\2=(e2x+1)\2ex 1) X=R=(-;+) Y=(1;+)

3) чётная ch(-x)=ch(x) 4)ch0=1 5) на промежутке(-;0], на[0;+); непрерывна в любой (.)х, график симметричен относительно Оу

(3) Гиперболический тангенс у=thx=shx\chx=(ex-e-x)\ (ex+e-x)= (e2x-1)\ (e2x+1) 1) X=R=(-;+) Y=(-1;1) 2) нечётная th(-x)=-thx 3) th0=0 4), непрерывная в(.) х.5)ограниченная th<1

(4) гиперболический котангенс у=сthx=chx\shx=(ex+e-x)\ (ex-e-x)= (e2x+1)\ (e2x-1) 1) X=R=(-;+) Y=(-;-1)(1;+) 2) нечётная cth(-x)=-cthx график симметричен относительно начала координат 3)Разрывная е=1, х=0 - (.) разрыва 2-го рода 4) (-;0)

св-ва гиперболических ф-ий: 1)ch2x- sh2x=1 2) ch2x+ sh2x=ch2x 3) 2chx*shx=sh2x 4) thx*cthx=1

19. формулы дифференцирования:

1) f(x)=c x0, x0+x lim(x0)y\x= lim(x0)0\x=0; f(x0)=c f(x0+x)=c(c)’=0

y = f(x0+x) - f(x0) = c-c=0

2) f(x)=x (степенная ф-ия) x0x0+x

f(x0)= x0 f(x0+x)= (x0+x)= x0(1+x\х0) y = f(x0+x) - f(x0) = x0[(1+x\х0)-1]

lim(x0) y\x= x0lim((1+x\х0)-1)\x

(1+x\х0)-1 (б.м. при х0)*х\х0 = x0lim*х\х0\х= x0*\ x0-1

(x0)’= x-1; (x1\2)’=1\2x1\2; (1\x)’ = 1\x2

3)f(x)=ax x0x0+x

f(x0)=ax0 f(x0x)=ax0+x y= f(x0+x)- f(x0)=ax0(ax-1)

lim(x0) ax0(ax-1)\x= ax0lim(ax-1)\x= ax0lna; (ax)’= ax0lna

4) f(x)=lnx x0x0+x

f(x0)=lnx0, f(x0+x)=ln(x0+x) y= f(x0+x)- f(x0)=ln(x0+x)-ln x0=ln(x0+x)\(x0) = ln(1+x\х0); lim(x0)x\y= lim(x0) ln(1+x\х0)\x= lim(x0)x\x0\x=1\x0 ln(1+x)(x0)x(ln(x))’=1\x

5) y=sinx x0x0+x

f(x0)=sinx0 f(x0+x)=sin(x0+x) y = sin(x0+x) - sinx0=2sinx\2*cos(x0+x\2) sin-sin= 2*sin(-)\2*cos(+)\2 lim(x0) y\x=2*lim(sinx\2* cos(x0+x\2))\x = 2lim cos(x0+x\2)*lim sin(x\2)\x=2cosx0  (sinx)’=cosx

6)f(x)=cosx (cosx)’=-sinx

Соседние файлы в папке Шпаргалка по матану